Đề III trang 200 SBT Toán Hình học 10: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có...

Đề 3 (45 phút)

Câu 1 trang 200 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. (6 điểm)

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có AB = AC, $\widehat {BAC} = {90^ \circ }$, trung điểm của BC là điểm M(1 ; -1) và trọng tâm tam giác ABC là $G\left( {{2 \over 3};0} \right)$

a) Tìm tọa độ điểm A ;

b) Tìm tọa độ điểm B và C ;

c) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gợi ý làm bài

a) $\overrightarrow {MA}  = 3\overrightarrow {MG}$ suy ra A(0 ; 2).

b) $\left\{ \matrix{ BC \bot MA \hfill \cr MB = MC = MA. \hfill \cr} \right.$

Suy ra B(-2 ; -2); C(4 ; 0) hay B(4 ; 0); C(-2 ; -2).

c) ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 10.$

Câu 2 trang 200 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. (4 điểm)

Cho elip (E) có phương trình ${{{x^2}} \over {16}} + {{{y^2}} \over 9} = 1$ và điểm A(1 ; 2).

a) Tìm độ dài trục lớn, trục nhỏ và tiêu cự của (E);

b) Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua A và cắt (E) tại ${M_1}$ và ${M_2}$ sao cho $A{M_1} = A{M_2}$

Gợi ý làm bài

a) $\eqalign{ & 2a = 8\,;\, \cr & 2b = 6\,;\, \cr & 2c = 2\sqrt 7 . \cr}$

b) Phương trình $\Delta$ có dạng : y = k(x - 1) + 2.

Phương trình hoành độ giao điểm của $\Delta$ và (E) : 

$9{x^2} + 16{\left[ {k\left( {x - 1} \right) + 2} \right]^2} - 144 = 0$

$\Leftrightarrow \left( {9 + 16{k^2}} \right){x^2} + 32k\left( {2 - k} \right)x + 16{\left( {2 - k} \right)^2} - 144 = 0.$

A là trung điểm $\eqalign{ & {M_1}{M_2} \Leftrightarrow {{{x_1} + {x_2}} \over 2} = {x_A} \cr & \Leftrightarrow {{16k(k - 2)} \over {9 + 16{k^2}}} = 1 \Leftrightarrow k = {{ - 9} \over {32}}. \cr}$

Vậy phương trình của $\Delta$ là: 9x + 32y - 73 = 0.