Đề I trang 199 SBT Toán Hình học 10: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi...

Đề 1 (45 phút)

Câu 1 trang 199 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. (6 điểm)

Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi OABC có tâm đối xứng là I(-1;1) và có cạnh bằng $\sqrt {10}$.

a) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C và tính diện tích hình thoi, biết ${x_A} > {x_C}$;

b) Tìm tọa độ điểm D (khác B) là giao điểm của đường thẳng OB với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gợi ý làm bài

a) Ta có $\overrightarrow {OB}  = 2\overrightarrow {OI}$ suy ra B(-2 ; 2).

Đường thẳng AC đi qua I(-1 ; 1) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {OI}  = ( - 1;1)$ nên có phương trình : 

x - y + 2 = 0

Tọa độ A và C có dạng $\left( {t;t + 2} \right)$

Ta có : $O{A^2} = O{C^2} = 10$  suy ra t = 1 hay t = -3.

Suy ra A(1 ; 3) và C(-3 ; -1).

b) Tam giác ABC cân tại B, suy ra điểm D thuộc đường thẳng OB có phương trình : x + y = 0

Đặt D(t;-t) ta có:

$\overrightarrow {BA}  = (3;1),\,\overrightarrow {AD}  = (t - 1; - t - 3)$

$\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {AD}  = 0 \Leftrightarrow 3\left( {t - 1} \right) - t - 3 = 0 \Leftrightarrow t = 3.$

Vậy D(3 ; -3)

Câu 2 trang 200 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. (4 điểm)

 Cho elip (E) đi qua điểm $M\left( {{3 \over {\sqrt 5 }};{4 \over {\sqrt 5 }}} \right)$ và tam giác  $M{F_1}{F_2}$ vuông tại M  (${F_1};{F_2}$ là hai tiêu điểm của elip).

a) Viết phương tình chính tắc của (E).

b) Tìm tiêu cự và tỉ số ${c \over a}$ của (E).

Gợi ý làm bài

a) $\eqalign{ & M \in (E):{{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1 \cr & \Leftrightarrow {9 \over {5{a^2}}} + {6 \over {5{b^2}}} = 1\,\,\,\,\,\,\,(1) \cr}$

$\eqalign{ & \widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^ \circ } \Leftrightarrow O{M^2} = {c^2} \cr & \Leftrightarrow {c^2} = 5 \Leftrightarrow {a^2} - {b^2} = 5\,\,\,(2) \cr}$

Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được ${a^2} = 9;{b^2} = 4$

Vậy (E) có phương trình ${{{x^2}} \over 9} + {{{y^2}} \over 4} = 1.$

b) $2c = 2\sqrt 5 \,\,;\,{c \over a} = {{\sqrt 5 } \over 3}.$