Bài 4 trang 98 Toán 10 tập 1 – Cánh diều: Cho hình vuông ABCD cạnh Tính các tích vô hướng sau:...

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính các tích vô hướng sau:

a) $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}$

b) $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD}$

Tính $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}$ bằng công thức $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ) = AB.AC.\cos \widehat {BAC}$

a) Ta có: $AC = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}}  = \sqrt {2{a^2}}  = a\sqrt 2$

$\Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = a.a\sqrt 2 .\cos \widehat {BAC} = {a^2}\sqrt 2 \cos {45^o} = {a^2}.$

b) Dễ thấy: $AC \bot BD \Rightarrow (\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} ) = {90^o}$

$\Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD}  = AC.BD.\cos {90^o} = AC.BD.0 = 0.$