Bài 6.16 trang 24 Toán 10 – Kết nối tri thức: a) ({x^2} - 1 ge 0) ...

Giải các bất phương trình bậc hai:

a) ${x^2} - 1 \ge 0$ 

b) ${x^2} - 2x - 1 < 0$

c) $- 3{x^2} + 12x + 1 \le 0$   

d) $5{x^2} + x + 1 \ge 0$

Xét dấu tam thức bậc hai $f(x) = a{x^2} + bx + c$

Bước 1: Tính $\Delta  = {b^2} - 4ac$

Bước 2:

-   Nếu $\Delta  < 0$ thì $f(x)$ luôn cùng dấu với a với mọi $x \in \mathbb{R}$

-   Nếu $\Delta  = 0$ thì $f(x)$có nghiệm kép là  ${x_0}$ . Vậy $f(x)$cùng dấu với a với $x \ne {x_0}$

-   Nếu $\Delta  > 0$ thì $f(x)$có 2 nghiệm là ${x_1};{x_2}$$({x_1} < {x_2})$. Ta lập bảng xét dấu.

a) Tam thức $f(x) = {x^2} - 1$ có $\Delta  = 4 > 0$nên f(x) có 2 nghiệm phân biệt ${x_1} =  - 1;{x_2} = 1$

Mặt khác a=1>0, do đó ta có bảng xét dấu:

Tập nghiệm của bất phương trình là $\left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)$

b) Tam thức $g(x) = {x^2} - 2x - 1$ có $\Delta  = 8 > 0$ nên g(x) có 2 nghiệm phân biệt ${x_1} = 1 - \sqrt 2 ;{x_2} = 1 + \sqrt 2$

Mặt khác a=1>0, do đó ta có bảng xét dấu:

Tập nghiệm của bất phương trình là $\left( {1 - \sqrt 2 ;1 + \sqrt 2 } \right)$

c) Tam thức $h(x) =  - 3{x^2} + 12x + 1$ có$\Delta ‘ = 39 > 0$nên h(x) có 2 nghiệm phân biệt ${x_1} = \frac{{6 - \sqrt {39} }}{3};{x_2} = \frac{{6 + \sqrt {39} }}{3}$

Mặt khác a=-3<0, do đó ta có bảng xét dấu:

Tập nghiệm của bất phương trình là $\left( { - \infty ; \frac{{6 - \sqrt {39} }}{3}} \right] \cup \left[ {\frac{{6 + \sqrt {39} }}{3}; + \infty } \right)$

d) Tam thức $k(x) = 5{x^2} + x + 1$ có $\Delta  =  - 19 < 0$, hệ số a=5>0 nên k(x) luôn dương ( cùng dấu với a) với mọi x, tức là $5{x^2} + x + 1 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Suy ra bất phương trình có vô số nghiệm