Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
b2x2−(b2+c2−a2)x+c2>0,∀x∈R
Bước 1: Tính giá trị của ∆
Bước 2: Áp dụng bất đẳng thức tam giác để chứng minh ∆ < 0
Bước 3: Kết luận
Tam thức bậc hai b2x2−(b2+c2−a2)x+c2 có ∆ = (b2+c2−a2)2−4b2c2
=(b2+c2−a2−2bc)(b2+c2−a2+2bc)
Advertisements (Quảng cáo)
=[(b−c)2−a2][(b+c)2−a2]
=(b−c−a)(b−c+a)(b+c−a)(b+c+a)
=−(a+c−b)(a+b−c)(b+c−a)(a+b+c)
Do a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên a > 0, b > 0, c > 0 và a + b + c > 0
Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
a+b>c⇔a+b−c>0b+c>a⇔b+c−a>0a+c>b⇔a+c−b>0
Do đó (a+c−b)(a+b−c)(b+c−a)(a+b+c)>0 ⇒−(a+c−b)(a+b−c)(b+c−a)(a+b+c)<0
⇒Δ<0 với mọi a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác
Vì hệ số a = b2 > 0 và ∆ < 0 nên BPT b2x2−(b2+c2−a2)x+c2>0 nghiệm đúng ∀x∈R
Vậy b2x2−(b2+c2−a2)x+c2>0,∀x∈R