Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
\({b^2}{x^2} – ({b^2} + {c^2} – {a^2})x + {c^2} > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)
Bước 1: Tính giá trị của ∆
Bước 2: Áp dụng bất đẳng thức tam giác để chứng minh ∆ < 0
Bước 3: Kết luận
Tam thức bậc hai \({b^2}{x^2} – ({b^2} + {c^2} – {a^2})x + {c^2}\) có ∆ = \({({b^2} + {c^2} – {a^2})^2} – 4{b^2}{c^2}\)
\( = ({b^2} + {c^2} – {a^2} – 2bc)({b^2} + {c^2} – {a^2} + 2bc)\)
Advertisements (Quảng cáo)
\( = \left[ {{{(b – c)}^2} – {a^2}} \right]\left[ {{{(b + c)}^2} – {a^2}} \right]\)
\( = (b – c – a)(b – c + a)(b + c – a)(b + c + a)\)
\( = – (a + c – b)(a + b – c)(b + c – a)(a + b + c)\)
Do a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên a > 0, b > 0, c > 0 và a + b + c > 0
Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
\(\begin{array}{l}a + b > c \Leftrightarrow a + b – c > 0\\b + c > a \Leftrightarrow b + c – a > 0\\a + c > b \Leftrightarrow a + c – b > 0\end{array}\)
Do đó \((a + c – b)(a + b – c)(b + c – a)(a + b + c) > 0\) \( \Rightarrow – (a + c – b)(a + b – c)(b + c – a)(a + b + c) < 0\)
\( \Rightarrow \Delta < 0\) với mọi a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác
Vì hệ số a = b2 > 0 và ∆ < 0 nên BPT \({b^2}{x^2} – ({b^2} + {c^2} – {a^2})x + {c^2} > 0\) nghiệm đúng \(\forall x \in \mathbb{R}\)
Vậy \({b^2}{x^2} – ({b^2} + {c^2} – {a^2})x + {c^2} > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)