Giải các bất phương trình sau:
a) 3x2−36x+108>0
b) −x2+2x−2≥0
c) x4−3x2+2≤0
d) 1x2−x+1≤12x2+x+2
a) Tam thức bậc hai f(x)=3x2−36x+108 có a = 3 > 0, ∆’ = 0 nên f(x) có nghiệm kép x = 6 và f(x) = 3x2−36x+108 > 0 với mọi x≠6
Vậy tập nghiệm của BPT 3x2−36x+108>0 là R∖{6}
b) Tam thức bậc hai g(x)=−x2+2x−2≥0 có a = -1 < 0, ∆’ = -1 < 0 nên g(x) < 0 với mọi x∈R
Vậy BPT −x2+2x−2≥0 vô nghiệm
c) Đặt t = x2 (t ≥ 0) khi đó ta thu được BPT t2−3t+2≤0
Advertisements (Quảng cáo)
Tam thức bậc hai h(x)=t2−3t+2 có a = 1 > 0 và có hai nghiệm là x1=1,x2=2 nên ta có bảng xét dấu:
Từ bảng xét dấu, ta được nghiệm của BPT t2−3t+2≤0là 1 ≤ t ≤ 2
Suy ra 1 ≤ x2 ≤ 2 ⇔{x2≥1x2≤2⇔{[x≥1x≤−1−√2≤x≤√2⇔[−√2≤x≤−11≤x≤√2
Vậy tập nghiệm của BPT x4−3x2+2≤0 là [−√2;−1]∪[1;√2]
d) 1x2−x+1≤12x2+x+2(*)
Ta có: Tam thức bậc hai x2−x+1 và 2x2+x+2 đều có a > 0, ∆ > 0 nên x2−x+1 > 0; 2x2+x+2 > 0 với mọi x∈R
Khi đó (*) ⇔x2−x+1≥2x2+x+2 ⇔x2+2x+1≤0
Tam thức bậc hai k(x)=x2+2x+1 có a = 1 > 0, ∆’ = 0 và có nghiệm kép x = -1
Suy ra k(x) > 0 với mọi x ≠ -1 và k(x) = 0 với x = -1
Vậy tập nghiệm của BPT 1x2−x+1≤12x2+x+2 là {-1}