Bài 22 trang 73 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho hàm số $y = {x^2} + 3x$ có đồ thị $\left( C \right)$...

Cho hàm số $y = {x^2} + 3x$ có đồ thị $\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm có:

a) Hoành độ bằng $- 1;$

b) Tung độ bằng $4.$

Nếu hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm tại điểm x₀ thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $P\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là $y = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right).$

Ta có:$f’\left( x \right) = {\left( {{x^2} + 3x} \right)^\prime } = 2x + 3.$

a) Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị có hoành độ bằng $- 1.$

$\Rightarrow {x_0} = - 1;{\rm{ }}{y_0} = - 2 \Rightarrow M\left( { - 1; - 2} \right).$

$\Rightarrow f’\left( { - 1} \right) = 2.\left( { - 1} \right) + 3 = 1.$

Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $M\left( { - 1; - 2} \right)$ là:

$y = f’\left( { - 1} \right)\left( {x - \left( { - 1} \right)} \right) + f\left( { - 1} \right) \Leftrightarrow y = 1.\left( {x + 1} \right) - 2 \Leftrightarrow y = x - 1.$

b) Gọi $N\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị có tung độ bằng $4.$

$\Rightarrow {y_0} = 4 \Rightarrow {x_0}^2 + 3{x_0} = 4 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{x_0} = - 4\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{N_1}\left( {1;4} \right)\\{N_2}\left( { - 4;4} \right)\end{array} \right.$

Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm ${N_1}\left( {1;4} \right)$ là:

$y = f’\left( 1 \right)\left( {x - 1} \right) + f\left( 1 \right) \Leftrightarrow y = 5\left( {x - 1} \right) + 4 \Leftrightarrow y = 5x - 1.$

Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm ${N_2}\left( { - 4;4} \right)$ là:

$y = f’\left( { - 4} \right)\left( {x + 4} \right) + f\left( { - 4} \right) \Leftrightarrow y = - 5\left( {x + 4} \right) + 4 \Leftrightarrow y = - 5x - 16.$