Bài 11 trang 76 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1: Tam giác $O{A_1}{A_2}$ vuông cân tại ${A_2}$ có cạnh huyền $O{A_1}$ bằngBên ngoài tam giác $O{A_1}{A_2}$...

Tam giác $O{A_1}{A_2}$ vuông cân tại ${A_2}$ có cạnh huyền $O{A_1}$ bằng a. Bên ngoài tam giác $O{A_1}{A_2}$, vẽ tam giác $O{A_2}{A_3}$ vuông cân tại ${A_3}$. Tiếp theo, bên ngoài tam giác $O{A_2}{A_3}$, vẽ tam giác $O{A_3}{A_4}$ vuông cân tại ${A_4}$. Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta vẽ được một dãy các hình tam giác vuông cân (Hình 2). Tính độ dài đường gấp khúc ${A_1}{A_2}{A_3}{A_4}...$

Sử dụng kiến thức về tổng của cấp số nhân lùi vô hạn để tính độ dài đường gấp khúc: Cấp số nhân vô hạn $\left( {{u_n}} \right)$ có công bội q thỏa mãn \(\left| q \right|

Ta có các góc $\widehat {{A_1}O{A_2}},\widehat {{A_2}O{A_3}},\widehat {{A_3}O{A_4}},...$ đều bằng ${45^0}$.

Lại có: ${A_1}{A_2} = O{A_2} = O{A_1}.\cos {45^0} = a\frac{{\sqrt 2 }}{2}$;

${A_2}{A_3} = O{A_3} = O{A_2}.\cos {45^0} = a\frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = a{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}$;

${A_3}{A_4} = O{A_4} = O{A_3}.\cos {45^0} = a{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = a{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^3}$;…

Vậy độ dài các đoạn thẳng ${A_1}{A_2},{A_2}{A_3},{A_3}{A_4}...$ tạo thành cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu bằng $a\frac{{\sqrt 2 }}{2}$ và công bội bằng $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$. Do đó, độ dài đường gấp khúc ${A_1}{A_2}{A_3}{A_4}...$ là: $l = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{{1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2 - \sqrt 2 }} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\left( {2 + \sqrt 2 } \right) = a\left( {1 + \sqrt 2 } \right)$