Bài 12 trang 77 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1: Cho tam giác OMN vuông cân tại O, $OM = ON = 1$. Trong tam giác OMN...

Cho tam giác OMN vuông cân tại O, $OM = ON = 1$. Trong tam giác OMN, vẽ hình vuông $O{A_1}{B_1}{C_1}$ sao cho các đỉnh ${A_1},{B_1},{C_1}$ lần lượt nằm trên các cạnh OM, MN, ON. Trong tam giác ${A_1}M{B_1}$, vẽ hình vuông ${A_1}{A_2}{B_2}{C_2}$ sao cho các đỉnh ${A_2},{B_2},{C_2}$ lần lượt nằm trên các cạnh ${A_1}M,M{B_1},{A_1}{B_1}$. Tiếp tục quá trình đó, ta được một dãy các hình vuông (Hình 3). Tính tổng diện tích các hình vuông này.

Sử dụng kiến thức về tổng của cấp số nhân lùi vô hạn để tính tổng: Cấp số nhân vô hạn $\left( {{u_n}} \right)$ có công bội q thỏa mãn \(\left| q \right|

Độ dài cạnh của các hình vuông lần lượt là:

${a_1} = \frac{1}{2},{a_2} = \frac{1}{2}{a_1} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2},{a_3} = \frac{1}{2}{a_2} = \frac{1}{2}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3},...$

Diện tích của các hình vuông lần lượt là:

${S_1} = a_1^2 = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4},$

${S_2} = a_2^2 = {\left( {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} \right)^2} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2},$

${S_3} = a_3^2 = {\left( {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^3}} \right)^2} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^3},...$

Các diện tích ${S_1},{S_2},{S_3},...$ lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là ${S_1} = \frac{1}{4}$ và công bội bằng $\frac{1}{4}$.

Do đó, tổng diện tích các hình vuông là: $S = \frac{1}{4}.\frac{1}{{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{1}{3}$