Bài 13 trang 77 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng \(d...

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng $d:x + y = 2$ cắt trục hoành tại điểm A và cắt đường thẳng ${d_n}:y = \frac{{2n + 1}}{n}x$ tại điểm ${P_n}\left( {n \in \mathbb{N}*} \right)$. Kí hiệu ${S_n}$ là diện tích của tam giác $OA{P_n}$. Tính $\lim {S_n}$.

+ Sử dụng kiến thức về các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số để tính: Cho $\lim {u_n} = a,\lim {v_n} = b$ và c là hằng số: $\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = a + b$, $\lim \left( {c.{u_n}} \right) = c.a$, $\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}\left( {b \ne 0} \right)$.

+ Sử dụng kiến thức về một số giới hạn cơ bản để tính: $\lim {q^n} = 0$ (q là số thực, \(\left| q \right|

Ta có: $A\left( {0;2} \right);OA = 2;\widehat {OA{P_n}} = {45^0}$

Vì P là giao điểm của ${d_n}$ và d nên tọa độ của P là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\y = \frac{{2n + 1}}{n}x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \frac{{2n + 1}}{n}x = 2\\y = \frac{{2n + 1}}{n}x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x.\frac{{3n + 1}}{n} = 2\\y = \frac{{2n + 1}}{n}x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{2n}}{{3n + 1}}\\y = \frac{{4n + 2}}{{3n + 1}}\end{array} \right.$

Do đó, ${P_n}\left( {\frac{{2n}}{{3n + 1}};\frac{{4n + 2}}{{3n + 1}}} \right)$

Gọi H là hình chiếu vuông góc của ${P_n}$ trên trục Ox.

Khi đó: ${P_n}H = \left| {\frac{{4n + 2}}{{3n + 1}}} \right| = \frac{{4n + 2}}{{3n + 1}}\left( {do\;n \in \mathbb{N}*} \right)$

Diện tích tam giác $OA{P_n}$ là: ${S_n} = \frac{1}{2}.OA.{P_n}H = \frac{1}{2}.2.\frac{{4n + 2}}{{3n + 1}} = \frac{{4n + 2}}{{3n + 1}}$

$\lim {S_n} = \lim \frac{{4n + 2}}{{3n + 1}} = \lim \frac{{4 + \frac{2}{n}}}{{3 + \frac{1}{n}}} = \frac{4}{3}$