Chứng minh rằng các hàm số dưới đây là hàm số tuần hoàn và xét tính chẵn, lẻ của mỗi hàm số đó.
a) \(y = 3\sin x + 2\tan \frac{x}{3}\);
b) \(y = \cos x\sin \frac{{\pi - x}}{2}\).
- Sử dụng kiến thức về tính chẵn lẻ của hàm số để xét tính chẵn lẻ của hàm số để chứng minh: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) với tập xác định D được gọi là:
+ Hàm số chẵn nếu với mọi \(x \in D\) ta có: \( - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\).
+ Hàm số lẻ nếu với mọi \(x \in D\) ta có: \( - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\).
- Sử dụng kiến thức về hàm số tuần hoàn để chứng minh: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) với tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số \(T \ne 0\) sao cho với mọi \(x \in D\) ta có \(x \pm T \in D\) và \(f\left( {x + T} \right) = f\left( T \right)\). Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên (nếu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn \(y = f\left( x \right)\).
a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{3\pi }}{2} + k3\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\)
Vì \(x \pm 6\pi \in D\) với mọi \(x \in D\) và
\(3\sin \left( {x + 6\pi } \right) + 2\tan \frac{{x + 6\pi }}{3} = 3\sin x + 2\tan \left( {\frac{x}{3} + 2\pi } \right) = 3\sin x + 2\tan \frac{x}{3}\)
Do đó, hàm số \(y = 3\sin x + 2\tan \frac{x}{3}\) là hàm số tuần hoàn.
Vì \( - x \in D\) với mọi \(x \in D\) và
\(3\sin \left( { - x} \right) + 2\tan \frac{{ - x}}{3} = - 3\sin x - 2\tan \frac{x}{3} = - \left( {3\sin x + 2\tan \frac{x}{3}} \right)\)
Suy ra hàm số \(y = 3\sin x + 2\tan \frac{x}{3}\) là hàm số lẻ.
b) Tập xác định của hàm số \(y = \cos x\sin \frac{{\pi - x}}{2}\) là: \(D = \mathbb{R}\)
Vì \(x \pm 4\pi \in D\) với mọi \(x \in D\) và
\(\cos \left( {x + 4\pi } \right)\sin \frac{{\pi - \left( {x + 4\pi } \right)}}{2} = \cos x\sin \left( {\frac{{\pi - x}}{2} - 2\pi } \right) = \cos x\sin \frac{{\pi - x}}{2}\)
Do đó, hàm số \(y = \cos x\sin \frac{{\pi - x}}{2}\) là hàm số tuần hoàn.
Vì \( - x \in D\) với mọi \(x \in D\) và
\(y = \cos \left( { - x} \right)\sin \frac{{\pi - \left( { - x} \right)}}{2} = \cos x\sin \left( {\pi - \frac{{\pi - x}}{2}} \right) = \cos x\sin \frac{{\pi - x}}{2}\)
Suy ra hàm số \(y = \cos x\sin \frac{{\pi - x}}{2}\) là hàm số chẵn.