Bài 2 trang 34 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1: Chứng minh rằng các hàm số dưới đây là hàm số tuần hoàn và xét tính chẵn...

Chứng minh rằng các hàm số dưới đây là hàm số tuần hoàn và xét tính chẵn, lẻ của mỗi hàm số đó.

a) $y = 3\sin x + 2\tan \frac{x}{3}$;

b) $y = \cos x\sin \frac{{\pi - x}}{2}$.

- Sử dụng kiến thức về tính chẵn lẻ của hàm số để xét tính chẵn lẻ của hàm số để chứng minh: Hàm số $y = f\left( x \right)$ với tập xác định D được gọi là:

+ Hàm số chẵn nếu với mọi $x \in D$ ta có: $- x \in D$ và $f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)$.

+ Hàm số lẻ nếu với mọi $x \in D$ ta có: $- x \in D$ và $f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)$.

- Sử dụng kiến thức về hàm số tuần hoàn để chứng minh: Hàm số $y = f\left( x \right)$ với tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số $T \ne 0$ sao cho với mọi $x \in D$ ta có $x \pm T \in D$ và $f\left( {x + T} \right) = f\left( T \right)$. Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên (nếu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn $y = f\left( x \right)$.

a) Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{3\pi }}{2} + k3\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}$

Vì $x \pm 6\pi \in D$ với mọi $x \in D$ và

$3\sin \left( {x + 6\pi } \right) + 2\tan \frac{{x + 6\pi }}{3} = 3\sin x + 2\tan \left( {\frac{x}{3} + 2\pi } \right) = 3\sin x + 2\tan \frac{x}{3}$

Do đó, hàm số $y = 3\sin x + 2\tan \frac{x}{3}$ là hàm số tuần hoàn.

Vì $- x \in D$ với mọi $x \in D$ và

$3\sin \left( { - x} \right) + 2\tan \frac{{ - x}}{3} = - 3\sin x - 2\tan \frac{x}{3} = - \left( {3\sin x + 2\tan \frac{x}{3}} \right)$

Suy ra hàm số $y = 3\sin x + 2\tan \frac{x}{3}$ là hàm số lẻ.

b) Tập xác định của hàm số $y = \cos x\sin \frac{{\pi - x}}{2}$ là: $D = \mathbb{R}$

Vì $x \pm 4\pi \in D$ với mọi $x \in D$ và

$\cos \left( {x + 4\pi } \right)\sin \frac{{\pi - \left( {x + 4\pi } \right)}}{2} = \cos x\sin \left( {\frac{{\pi - x}}{2} - 2\pi } \right) = \cos x\sin \frac{{\pi - x}}{2}$

Do đó, hàm số $y = \cos x\sin \frac{{\pi - x}}{2}$ là hàm số tuần hoàn.

Vì $- x \in D$ với mọi $x \in D$ và

$y = \cos \left( { - x} \right)\sin \frac{{\pi - \left( { - x} \right)}}{2} = \cos x\sin \left( {\pi - \frac{{\pi - x}}{2}} \right) = \cos x\sin \frac{{\pi - x}}{2}$

Suy ra hàm số $y = \cos x\sin \frac{{\pi - x}}{2}$ là hàm số chẵn.