Giải các phương trình lượng giác sau:
a) \(\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) + \sin x \) \( = 0\);
b) \({\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \) \( = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{4}\);
c) \(\cos \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) + 2{\sin ^2}x \) \( = 1\)
Sử dụng kiến thức về phương trình lượng giác cơ bản để giải phương trình: Phương trình \(\cos x \) \( = m\) có nghiệm khi \(\left| m \right| \le 1\). Khi đó, nghiệm của phương trình là \(x \) \( = \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\); \(x \) \( = - \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) với \(\alpha \) là góc thuộc \(\left[ {0;\pi } \right]\) sao cho \(\cos \alpha \) \( = m\).
Đặc biệt: \(\cos u \) \( = \cos v \) \( \Leftrightarrow u \) \( = v + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) hoặc \(u \) \( = - v + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
a) \(\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) + \sin x \) \( = 0 \) \( \Leftrightarrow \cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) \) \( = \sin \left( { - x} \right) \) \( \Leftrightarrow \cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) \) \( = \cos \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + x + k2\pi \\2x - \frac{\pi }{3} = - \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\x = \frac{{ - \pi }}{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b) \({\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \) \( = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{4} \) \( \Leftrightarrow \frac{{1 + \cos 2\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}{2} \) \( = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{4} \) \( \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right) \) \( = \cos \frac{\pi }{6}\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + \frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{2x + \frac{\pi }{2} = - \frac{\pi }{6} + k2\pi }\end{array}} \right.(k \in \mathbb{Z}{\rm{)}} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{ - \pi }}{6} + k\pi }\\{x = \frac{{ - \pi }}{3} + k\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
c) \(\cos \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) + 2{\sin ^2}x \) \( = 1 \) \( \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) \) \( = 1 - 2{\sin ^2}x \) \( \Leftrightarrow \cos \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) \) \( = \cos 2x\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + \frac{\pi }{6} = 2x + k2\pi \\3x + \frac{\pi }{6} = - 2x + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi \\x = \frac{{ - \pi }}{{30}} + \frac{{k2\pi }}{5}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)