Câu 1
Trên đường tròn lượng giác, góc lượng giác \(\frac{{13\pi }}{7}\) có cùng điểm biểu diễn với góc lượng giác nào sau đây?
A. \(\frac{{6\pi }}{7}\).
B. \(\frac{{20\pi }}{7}\).
C. \( - \frac{\pi }{7}\).
D. \(\frac{{19\pi }}{{14}}\).
Sử dụng kiến thức về khái niệm góc lượng giác: Số đo của các góc lượng giác có cùng tia đầu Oa và tia cuối Ob sai nhau khác một bội nguyên của \(2\pi \) nên ta có công thức tổng quát là \(\left( {Oa,Ob} \right) = \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) với \(\alpha \) là số đo theo radian của một góc lượng giác bất kì có tia đầu Oa và tia cuối Ob.
Vì \(\frac{{13\pi }}{7} - 2\pi = \frac{{ - \pi }}{7}\) nên trên đường tròn lượng giác, góc lượng giác \(\frac{{13\pi }}{7}\) có cùng điểm biểu diễn với góc lượng giác \( - \frac{\pi }{7}\)
Chọn C
Câu 2
Điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác của góc lượng giác có số đo \( - {830^0}\) thuộc góc phần tư thứ mấy?
A. Góc phần tư thứ I.
B. Góc phần tư thứ II.
C. Góc phần tư thứ III.
D. Góc phần tư thứ IV.
Sử dụng kiến thức về khái niệm góc lượng giác: Số đo của các góc lượng giác có cùng tia đầu Oa và tia cuối Ob sai nhau khác một bội nguyên của \({360^0}\) nên ta có công thức tổng quát là \(\left( {Oa,Ob} \right) = \alpha + k{360^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) với \(\alpha \) là số đo theo độ của một góc lượng giác bất kì có tia đầu Oa và tia cuối Ob.
Ta có: \( - {830^0} = 2.\left( { - {{360}^0}} \right) - {110^0}\) nên góc lượng giác có số đo \( - {830^0}\) thuộc góc phần tư thứ III
Chọn C.
Câu 3
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. \(\cos \left( {\pi - x} \right) = - \cos x\)
B. \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = - \cos x\)
C. \(\tan \left( {\pi + x} \right) = \tan x\)
D. \(\cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \sin x\)
Sử dụng kiến thức về giá trị lượng giác của các góc lượng giác có liên quan đặc biệt để tìm câu sai: \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos x\)
Vì \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos x\) nên đáp án B sai
Chọn B
Câu 4
Cho \(\cos \alpha = \frac{1}{3}\). Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào không thể xảy ra?
A. \(\sin \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)
B. \(\cos 2\alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{9}\)
C. \(\cot \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\)
D. \(\cos \frac{\alpha }{2} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\)
Sử dụng kiến thức về công thức góc nhân đôi để tính: \(\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1\).
Vì \(\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1 = 2.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} - 1 = \frac{{ - 7}}{9}\) nên B sai.
Chọn B
Câu 5
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
A. \(y = \tan x - 2\cot x\)
B. \(y = \sin \frac{{5\pi - x}}{2}\)
C. \(y = 3{\sin ^2}x + \cos 2x\)
D. \(y = \cot \left( {2x + \frac{\pi }{5}} \right)\)
Sử dụng kiến thức về tính chẵn lẻ của hàm số để xét tính lẻ của hàm số: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) với tập xác định D được gọi là hàm số lẻ nếu với mọi \(x \in D\) ta có: \( - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\).
Xét hàm số: \(y = \tan x - 2\cot x\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2}\left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\). Ta có \( - x \in D\) với mọi \(x \in D\) và:
\(\tan \left( { - x} \right) - 2\cot \left( { - x} \right) = - \tan x + 2\cot x = - \left( {\tan x - 2\cot x} \right)\)
Do đó, hàm số \(y = \tan x - 2\cot x\) là hàm số lẻ.
Chọn A
Câu 6
Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)?
A. \(y = \sin x\)
B. \(y = - \cot x\)
C. \(y = \tan x\)
D. \(y = \cos x\)
Sử dụng kiến thức về sự nghịch biến của hàm số \(y = \cos x\) để tìm đáp án đúng: Hàm số \(y = \cos x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {k2\pi ;\pi + k2\pi } \right)\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vì hàm số \(y = \cos x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {k2\pi ;\pi + k2\pi } \right)\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) nên hàm số \(y = \cos x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).
Chọn D
Câu 7
Cho \(\sin \alpha = - \frac{3}{5}\) và \(\cos \alpha = \frac{4}{5}\). Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
A. \(\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{{10}}\)
B. \(\sin 2\alpha = - \frac{{12}}{{25}}\)
C. \(\tan \left( {2\alpha + \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{{31}}{{17}}\)
D. \(\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{3 + 4\sqrt 3 }}{{10}}\)
Sử dụng kiến thức về công thức cộng để tính: \(\sin \left( {\alpha + \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \).
Ta có: \(\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \alpha \cos \frac{\pi }{4} + \cos \alpha \sin \frac{\pi }{4} = \frac{{ - 3}}{5}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{4}{5}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{{10}}\)
Chọn A
Câu 8
Cho \(\sin \alpha = \frac{{\sqrt {15} }}{4}\) và \(\cos \beta = \frac{1}{3}\). Giá trị của biểu thức \(\sin \left( {\alpha + \beta } \right)\sin \left( {\alpha - \beta } \right)\) bằng
A. \(\frac{7}{{12}}\).
B. \(\frac{1}{{12}}\).
C. \(\frac{{\sqrt {15} }}{{12}}\).
D. \(\frac{7}{{144}}\).
Sử dụng kiến thức về công thức biến đổi tích thành tổng để tính: \(\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\alpha - \beta } \right) - \cos \left( {\alpha + \beta } \right)} \right]\)
Ta có: \(\cos 2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha = 1 - 2.\frac{{15}}{{16}} = \frac{{ - 7}}{8}\);\(\cos 2\beta = 2{\cos ^2}\alpha - 1 = 2.\frac{1}{9} - 1 = \frac{{ - 7}}{9}\)
\(\sin \left( {\alpha + \beta } \right)\sin \left( {\alpha - \beta } \right) = \frac{1}{2}\left( {\cos 2\beta - \cos 2\alpha } \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{7}{8} - \frac{7}{9}} \right) = \frac{7}{{144}}\)
Chọn D
Câu 9
Số nghiệm của phương trình \(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}\) trên đoạn \(\left[ {0;8\pi } \right]\) là
A. 14.
B. 15.
C. 16.
D. 17.
Sử dụng kiến thức về phương trình lượng giác cơ bản để giải phương trình: Phương trình \(\sin x = m\) có nghiệm khi \(\left| m \right| \le 1\). Khi đó, nghiệm của phương trình là \(x = \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\); \(x = \pi - \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) với \(\alpha \) là góc thuộc \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) sao cho \(\sin \alpha = m\).
Đặc biệt: \(\sin u = \sin v \Leftrightarrow u = v + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) hoặc \(u = \pi - v + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
\(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \frac{\pi }{6}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x + \frac{\pi }{3} = \pi - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - \pi }}{{12}} + k\pi \\x = \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
TH1: Vì \(x \in \left[ {0;8\pi } \right] \Rightarrow 0 \le \frac{{ - \pi }}{{12}} + k\pi \le 8\pi \Leftrightarrow \frac{1}{{12}} \le k \le \frac{{97}}{{12}}\)
Mà k là số nguyên nên \(k \in \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8} \right\}\)
Do đó, \(x \in \left\{ {\frac{{11\pi }}{{12}};\frac{{23\pi }}{{12}};\frac{{35\pi }}{{12}};\frac{{47\pi }}{{12}};\frac{{59\pi }}{{12}};\frac{{71\pi }}{{12}};\frac{{83\pi }}{{12}};\frac{{95\pi }}{{12}}} \right\}\)
TH2: Vì \(x \in \left[ {0;8\pi } \right] \Rightarrow 0 \le \frac{\pi }{4} + k\pi \le 8\pi \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{4} \le k \le \frac{{31}}{4}\)
Mà k là số nguyên nên \(k \in \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7} \right\}\)
Do đó, \(x \in \left\{ {\frac{\pi }{4};\frac{{5\pi }}{4};\frac{{9\pi }}{4};\frac{{13\pi }}{4};\frac{{17\pi }}{4};\frac{{21\pi }}{4};\frac{{25\pi }}{4};\frac{{29\pi }}{4}} \right\}\)
Vậy có tất cả 16 nghiệm của phương trình \(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}\) trên đoạn \(\left[ {0;8\pi } \right]\) .
Chọn C
Câu 10
Số nghiệm của phương trình \(\tan \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \tan \frac{{3\pi }}{8}\) trên đoạn \(\left[ { - 6\pi ;\pi } \right]\) là:
A. 7.
B. 8.
C. 9.
D. 10.
Sử dụng kiến thức về phương trình lượng giác cơ bản để giải phương trình: Với mọi số thực m, phương trình \(\tan x = m\) có nghiệm \(x = \alpha + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) với \(\alpha \) là góc thuộc \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) sao cho \(\tan \alpha = m\).
\(\tan \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \tan \frac{{3\pi }}{8} \) \( \Leftrightarrow \tan \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = \tan - \frac{{3\pi }}{8} \) \( \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{6} = - \frac{{3\pi }}{8} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
\( \Leftrightarrow x = \frac{{ - 5\pi }}{{24}} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vì \(x \in \left[ { - 6\pi ;\pi } \right] \Rightarrow - 6\pi \le \frac{{ - 5\pi }}{{24}} + k\pi \le \pi \) \( \Leftrightarrow \frac{{ - 139}}{{24}} \le k \le \frac{{29}}{{24}}\)
Mà k là số nguyên nên \(k \in \left\{ { - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;0;1} \right\}\)
Do đó, \(x \in \left\{ {\frac{{ - 125\pi }}{{24}};\frac{{ - 101\pi }}{{24}};\frac{{ - 77\pi }}{{24}};\frac{{ - 53\pi }}{{24}};\frac{{ - 29\pi }}{{24}};\frac{{ - 5\pi }}{{24}};\frac{{19\pi }}{{24}}} \right\}\)
Vậy có tất cả 7 nghiệm của phương trình \(\tan \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \tan \frac{{3\pi }}{8}\) trên đoạn \(\left[ { - 6\pi ;\pi } \right]\).
Chọn B