Bài 5 trang 34 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1: Vận tốc ${v_1}\left( {cm/s} \right)$ của con lắc đơn thứ nhất và vận tốc ${v_2}\left( {cm/s} \right)$ của con lắc...

Vận tốc ${v_1}\left( {cm/s} \right)$ của con lắc đơn thứ nhất và vận tốc ${v_2}\left( {cm/s} \right)$ của con lắc đơn thứ hai theo thời gian t (giây) được cho bởi các công thức:

${v_1}\left( t \right)$ $= - 4\cos \left( {\frac{{2t}}{3} + \frac{\pi }{4}} \right)$ và ${v_2}\left( t \right)$ $= 2\sin \left( {2t + \frac{\pi }{6}} \right)$

Xác định các thời điểm t mà tại đó:

a) Vận tốc của con lắc đơn thứ nhất bằng 2cm/s.

b) Vận tốc của con lắc đơn thứ nhất gấp hai lần vận tốc của con lắc đơn thứ hai.

Sử dụng kiến thức về phương trình lượng giác cơ bản để giải phương trình: Phương trình $\cos x$ $= m$ có nghiệm khi $\left| m \right| \le 1$. Khi đó, nghiệm của phương trình là $x$ $= \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$; $x$ $= - \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ với $\alpha$ là góc thuộc $\left[ {0;\pi } \right]$ sao cho $\cos \alpha$ $= m$.

Đặc biệt: $\cos u$ $= \cos v$ $\Leftrightarrow u$ $= v + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ hoặc $u$ $= - v + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

a) Vận tốc của con lắc đơn thứ nhất bằng 2cm/s khi:

$- 4\cos \left( {\frac{{2t}}{3} + \frac{\pi }{4}} \right)$ $= 2$ $\Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{2t}}{3} + \frac{\pi }{4}} \right)$ $= \frac{{ - 1}}{2}$ $\Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{2t}}{3} + \frac{\pi }{4}} \right)$ $= \cos \frac{{2\pi }}{3}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{2t}}{3} + \frac{\pi }{4} = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\\frac{{2t}}{3} + \frac{\pi }{4} = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{5\pi }}{8} + k3\pi \\t = \frac{{ - 11\pi }}{8} + k3\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Vì $t > 0$ nên $t$ $= \frac{{5\pi }}{8} + k3\pi \left( {k \in \mathbb{N}} \right)$ hoặc $t$ $= \frac{{13\pi }}{8} + k3\pi \left( {k \in \mathbb{N}} \right)$

b) Vận tốc của con lắc đơn thứ nhất gấp hai lần vận tốc của con lắc đơn thứ hai khi:

$- 4\cos \left( {\frac{{2t}}{3} + \frac{\pi }{4}} \right)$ $= 2.2\sin \left( {2t + \frac{\pi }{6}} \right)$ $\Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{2t}}{3} + \frac{\pi }{4}} \right)$ $= - \sin \left( {2t + \frac{\pi }{6}} \right)$

$\Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{2t}}{3} + \frac{\pi }{4}} \right)$ $= \cos \left[ {\frac{\pi }{2} + \left( {2t + \frac{\pi }{6}} \right)} \right]$ $\Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{2t}}{3} + \frac{\pi }{4}} \right)$ $= \cos \left( {2t + \frac{{2\pi }}{3}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2t + \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{2t}}{3} + \frac{\pi }{4} + k2\pi \\2t + \frac{{2\pi }}{3} = - \left( {\frac{{2t}}{3} + \frac{\pi }{4}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{ - 5\pi }}{{16}} + \frac{{k3\pi }}{2}\\t = \frac{{ - 11\pi }}{{32}} + \frac{{k3\pi }}{4}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Vì $t > 0$ nên $t$ $= \frac{{19\pi }}{{16}} + \frac{{k3\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{N}} \right)$ hoặc $t$ $= \frac{{13\pi }}{{32}} + \frac{{k3\pi }}{4}\left( {k \in \mathbb{N}} \right)$