Bài 3 trang 34 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1: Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau...

Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:

a) ${\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{8}} \right) - {\sin ^2}\left( {x - \frac{\pi }{8}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin 2x$;

b) ${\sin ^2}y + 2\cos x\cos y\cos \left( {x - y} \right) = {\cos ^2}x + {\cos ^2}\left( {x - y} \right)$.

a) + Sử dụng kiến thức công thức tổng thành tích để chứng minh: $\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin \frac{{\alpha + \beta }}{2}\cos \frac{{\alpha - \beta }}{2};\sin \alpha - \sin \beta = 2\cos \frac{{\alpha + \beta }}{2}\sin \frac{{\alpha - \beta }}{2}$

+ Sử dụng kiến thức về công thức góc nhân đôi để chứng minh: $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$

b) Sử dụng kiến thức về công thức biến đổi tích thành tổng để chứng minh $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\alpha + \beta } \right) + \cos \left( {\alpha - \beta } \right)} \right]$

Sử dụng kiến thức về công thức cộng để chứng minh $\cos \left( {\alpha + \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

a) ${\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{8}} \right) - {\sin ^2}\left( {x - \frac{\pi }{8}} \right)$ $= \left[ {\sin \left( {x + \frac{\pi }{8}} \right) - \sin \left( {x - \frac{\pi }{8}} \right)} \right]\left[ {\sin \left( {x + \frac{\pi }{8}} \right) + \sin \left( {x - \frac{\pi }{8}} \right)} \right]$

$= 2\sin \frac{\pi }{8}\cos x.2\sin x\cos \frac{\pi }{8}$ $= 2\sin \frac{\pi }{4}\cos x\sin x$ $= \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin 2x$

b) ${\sin ^2}y + 2\cos x\cos y\cos \left( {x - y} \right)$ $= {\cos ^2}x + {\cos ^2}\left( {x - y} \right)$

$\Leftrightarrow 2\cos x\cos y\cos \left( {x - y} \right) - {\cos ^2}\left( {x - y} \right)$ $= {\cos ^2}x - {\sin ^2}y$

Ta có: $2\cos x\cos y\cos \left( {x - y} \right) - {\cos ^2}\left( {x - y} \right)$ $= \cos \left( {x - y} \right)\left[ {2\cos x\cos y - \cos \left( {x - y} \right)} \right]$

$= \cos \left( {x - y} \right)\left( {\cos x\cos y - \sin x\sin y} \right)$ $= \cos \left( {x - y} \right)\cos \left( {x + y} \right)$

$= \frac{1}{2}\left( {\cos 2x + \cos 2y} \right)$ $= \frac{1}{2}\left( {1 - 2{{\sin }^2}y + 2{{\cos }^2}x - 1} \right)$ $= {\cos ^2}x - {\sin ^2}y$

Vậy ${\sin ^2}y + 2\cos x\cos y\cos \left( {x - y} \right)$ $= {\cos ^2}x + {\cos ^2}\left( {x - y} \right)$