Tìm các giới hạn sau:
a) \(\lim {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^n}\);
b) \(\lim \frac{{{3^n}}}{{{4^n} - 1}}\);
c) \(\lim \frac{{{3^n} - {2^n}}}{{{3^n} + {2^n}}}\);
d) \(\lim \frac{{{4^{n + 1}}}}{{{3^n} + {4^n}}}\).
a) Sử dụng kiến thức về một số giới hạn cơ bản: \(\lim {q^n} = 0\) (q là số thực, \(\left| q \right|
b, c, d) + Sử dụng kiến thức về các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số để tính: Cho \(\lim {u_n} = a,\lim {v_n} = b\) và c là hằng số: \(\lim \left( {{u_n} \pm {v_n}} \right) = a \pm b\), \(\lim \left( {c.{u_n}} \right) = c.a\), \(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = a.b\), \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}\left( {b \ne 0} \right)\).
+ Sử dụng kiến thức về một số giới hạn cơ bản: \(\lim {q^n} = 0\) (q là số thực, \(\left| q \right|
a) \(\lim {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^n} = 0\) do \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}
b) \(\lim \frac{{{3^n}}}{{{4^n} - 1}}\)\( = \lim \frac{{{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n}}}{{1 - {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}}}\)\( = \frac{{\lim {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n}}}{{1 - \lim {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}}}\)\( = \frac{0}{{1 - 0}} = 0\);
c) \(\lim \frac{{{3^n} - {2^n}}}{{{3^n} + {2^n}}}\)\( = \lim \frac{{1 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}}}{{1 + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}}}\)\( = \frac{{1 - \lim {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}}}{{1 + \lim {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}}}\)\( = \frac{{1 - 0}}{{1 + 0}} = 1\);
d) \(\lim \frac{{{4^{n + 1}}}}{{{3^n} + {4^n}}}\)\( = \lim \frac{{{{4.4}^n}}}{{{3^n} + {4^n}}}\)\( = \frac{4}{{\lim {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n} + 1}}\)\( = \frac{4}{{0 + 1}} = 4\).