Bài 3 trang 75 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1: Tìm các giới hạn sau: $\lim {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^n}$; $\lim \frac{{{3^n}}}{{{4^n} - 1}}$; c) \(\lim \frac{{{3^n} -...

Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^n}$;

b) $\lim \frac{{{3^n}}}{{{4^n} - 1}}$;

c) $\lim \frac{{{3^n} - {2^n}}}{{{3^n} + {2^n}}}$;

d) $\lim \frac{{{4^{n + 1}}}}{{{3^n} + {4^n}}}$.

a) Sử dụng kiến thức về một số giới hạn cơ bản: $\lim {q^n} = 0$ (q là số thực, \(\left| q \right|

b, c, d) + Sử dụng kiến thức về các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số để tính: Cho $\lim {u_n} = a,\lim {v_n} = b$ và c là hằng số: $\lim \left( {{u_n} \pm {v_n}} \right) = a \pm b$, $\lim \left( {c.{u_n}} \right) = c.a$, $\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = a.b$, $\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}\left( {b \ne 0} \right)$.

+ Sử dụng kiến thức về một số giới hạn cơ bản: $\lim {q^n} = 0$ (q là số thực, \(\left| q \right|

a) $\lim {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^n} = 0$ do \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}

b) $\lim \frac{{{3^n}}}{{{4^n} - 1}}$$= \lim \frac{{{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n}}}{{1 - {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}}}$$= \frac{{\lim {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n}}}{{1 - \lim {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}}}$$= \frac{0}{{1 - 0}} = 0$;

c) $\lim \frac{{{3^n} - {2^n}}}{{{3^n} + {2^n}}}$$= \lim \frac{{1 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}}}{{1 + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}}}$$= \frac{{1 - \lim {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}}}{{1 + \lim {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}}}$$= \frac{{1 - 0}}{{1 + 0}} = 1$;

d) $\lim \frac{{{4^{n + 1}}}}{{{3^n} + {4^n}}}$$= \lim \frac{{{{4.4}^n}}}{{{3^n} + {4^n}}}$$= \frac{4}{{\lim {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n} + 1}}$$= \frac{4}{{0 + 1}} = 4$.