Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA=2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.
- Sử dụng kiến thức về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để tính:
+ Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa đường thẳng a với (P) bằng 900.
+ Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa đường thẳng a và hình chiếu a’ của a trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng a và (P).
- Sử dụng kiến thức về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau để tính: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó, kí hiệu d(a, b).
Áp dụng định lý côsin vào tam giác AHC có:
CH2 =AC2+AH2−2AC.AH.cos^CAH
⇒CH2 =a2+(2a3)2−2a.2a3.cos600 =7a29⇒CH =a√73
Advertisements (Quảng cáo)
Vì SH⊥(ABC) nên HC là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (ABC)
Do đó, (SC,(ABC)) =(SC,HC) =^SCH =600
Trong tam giác SCH vuông tại H có: SH =CH.tan600 =a√73.√3 =a√213
Qua A kẻ đường thẳng song song với BC, I là hình chiếu của H trên đường thẳng đó.
Khi đó, BC//AI. Suy ra: d(BC,SA) =d(BC,(SAI)) =d(B,(SAI)) =32d(H;(SAI))
Gọi K là hình chiếu của H trên SI.
Vì SH⊥AI,AI⊥HI⇒AI⊥(SHI)⇒AI⊥KH
Mà HK⊥SI⇒HK⊥(SAI)⇒d(H,(SAI)) =HK
Ta có: ^HAI =1800−(600+600) =600
Tam giác AHI vuông tại I nên HI =HA.sin600 =2a3.√32 =a√33
Tam giác SIH vuông tại H có: 1HK2 =1HS2+1HI2 =921a2+93a2 =247a2⇒HK =a√4212
Do đó: d(BC,SA) =a√428