Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a. Mặt phẳng (B’AC) tạo với đáy một góc 300, khoảng cách từ B đến mặt phẳng (D’AC) bằng a2. Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’.
+ Sử dụng kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng để tính: Góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng.
+ Sử dụng kiến thức về thể tích khối tứ diện.
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Ta có: AC⊥BD,AC⊥BB′ ⇒AC⊥(BB′D) ⇒AC⊥B′O
Khi đó, BO⊥AC,B′O⊥AC,BO⊂(ABCD),B′O⊂(B′AC), AC là giao tuyến của (B’AC) và (ABCD). Do đó, ((B′AC),(ABCD))=(BO,B′O)=^B′OB=300
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có: d(B,(D′AC))=d(D,(D′AC))=a2
Chứng minh được: AC⊥(BB′D′D) ⇒(D′AC)⊥(BB′D′D) và D’O là giao tuyến của (D’AC) và (BB’D’D).
Từ D kẻ DH⊥D′O(H∈D′O). Do đó, d(D,(D′AC))=DH=a2
Xét tam giác B’OB vuông tại B có: BB′BO=tan300 ⇒OD=BO=√3BB′
Xét tam giác D’DO vuông tại D, đường cao DH có:
1DH2=1OD2+1D′D2 ⇒4a2=13BB‘2+1D′D2 ⇒D′D=a√33 ⇒OB=a
Gọi I là giao điểm của BD’ và B’O, suy ra: BID′I=12 ⇒d(D′,(B′AC))=2d(B,(B′AC)) ⇒VACB′D′=2VB′ABC
Tam giác AOB vuông tại O có: OA=√AB2−OB2=√4a2−a2=a√3
Diện tích tam giác ABC là: SABC=2SABO=2.12.OB.OA=a2√3
Suy ra: VB′ABC=13BB′.SABC=13.a√33.a2√3=a33. Vậy VACB′D′=2a33