Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a. Mặt phẳng (B’AC) tạo với đáy một góc 300, khoảng cách từ B đến mặt phẳng (D’AC) bằng a2. Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’.
+ Sử dụng kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng để tính: Góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng.
+ Sử dụng kiến thức về thể tích khối tứ diện.
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Ta có: AC⊥BD,AC⊥BB′ ⇒AC⊥(BB′D) ⇒AC⊥B′O
Khi đó, BO⊥AC,B′O⊥AC,BO⊂(ABCD),B′O⊂(B′AC), AC là giao tuyến của (B’AC) và (ABCD). Do đó, ((B′AC),(ABCD))=(BO,B′O)=^B′OB=300
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có: d(B,(D′AC))=d(D,(D′AC))=a2
Chứng minh được: AC⊥(BB′D′D) ⇒(D′AC)⊥(BB′D′D) và D’O là giao tuyến của (D’AC) và (BB’D’D).
Từ D kẻ DH⊥D′O(H∈D′O). Do đó, d(D,(D′AC))=DH=a2
Xét tam giác B’OB vuông tại B có: BB′BO=tan300 ⇒OD=BO=√3BB′
Xét tam giác D’DO vuông tại D, đường cao DH có:
1DH2=1OD2+1D′D2 \Rightarrow \frac{4}{{{a^2}}} = \frac{1}{{3BB{‘^2}}} + \frac{1}{{D'{D^2}}} \Rightarrow D’D = \frac{{a\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow OB = a
Gọi I là giao điểm của BD’ và B’O, suy ra: \frac{{BI}}{{D’I}} = \frac{1}{2} \Rightarrow d\left( {D’,\left( {B’AC} \right)} \right) = 2d\left( {B,\left( {B’AC} \right)} \right) \Rightarrow {V_{ACB’D’}} = 2{V_{B’ABC}}
Tam giác AOB vuông tại O có: OA = \sqrt {A{B^2} - O{B^2}} = \sqrt {4{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 3
Diện tích tam giác ABC là: {S_{ABC}} = 2{S_{ABO}} = 2.\frac{1}{2}.OB.OA = {a^2}\sqrt 3
Suy ra: {V_{B’ABC}} = \frac{1}{3}BB’.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{3}.{a^2}\sqrt 3 = \frac{{{a^3}}}{3}. Vậy {V_{ACB’D’}} = \frac{{2{a^3}}}{3}