Bài 3 trang 90 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1: Xét tính liên tục của hàm số...

Xét tính liên tục của hàm số:

a) $f\left( x \right) = \left| {x + 1} \right|$ tại điểm $x = - 1$;

b) $g\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{x - 1}}\;\;\;khi\;x \ne 1\\\;\;\;\;1\;\;\;\;\;\;khi\;x = 1\end{array} \right.$ tại điểm $x = 1$.

Sử dụng kiến thức về định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm để xét tính liên tục của hàm số: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên khoảng K và ${x_0} \in K$. Hàm số $y = f\left( x \right)$ được gọi là liên tục tại điểm ${x_0}$ nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$

a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}$, chứa điểm $- 1$.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left| {x + 1} \right| = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {x + 1} \right) = - 1 + 1 = 0;$ $f\left( { - 1} \right) = \left| { - 1 + 1} \right| = 0$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left| {x + 1} \right| = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( { - x - 1} \right) = 1 - 1 = 0$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) = 0$ nên hàm số f(x) liên tục tại điểm $x = - 1$.

b) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}$, chứa điểm 1.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} 1 = 1;$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{ - x + 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( { - 1} \right) = - 1$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} g\left( x \right)$ nên hàm số g(x) không liên tục tại điểm $x = 1$.