Bài 4 trang 90 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {x + 2} - 2}}{{x - 2}}\;khi\;x \ne...

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {x + 2} - 2}}{{x - 2}}\;khi\;x \ne 2\\\;\;\;\;a\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;x = 2\end{array} \right.$. Tìm giá trị của tham số a để hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục tại $x = 2$.

Sử dụng kiến thức về định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm để tìm a: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên khoảng K và ${x_0} \in K$. Hàm số $y = f\left( x \right)$ được gọi là liên tục tại điểm ${x_0}$ nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {x + 2} - 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {\sqrt {x + 2} - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 2} + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 2} + 2} \right)}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 2} + 2} \right)}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{\sqrt {x + 2} + 2}} = \frac{1}{{\sqrt {2 + 2} + 2}} = \frac{1}{4}$

Để hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục tại $x = 2$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) \Rightarrow a = \frac{1}{4}$