Bài 4 trang 26 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2: Giải các phương trình sau: ${4^x} = \sqrt {2\sqrt 2 }$; ${9^{5x}} = {27^{x - 2}}$; c) \({\log _{81}}x...

Giải các phương trình sau:

a) ${4^x} = \sqrt {2\sqrt 2 }$;

b) ${9^{5x}} = {27^{x - 2}}$;

c) ${\log _{81}}x = \frac{1}{2}$;

d) ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {3x + 1} \right) = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {4x - 1} \right)$;

e) ${\log _5}\left( {x - 2} \right) + {\log _5}\left( {x + 2} \right) = 1$;

g) ${\log _x}8 = \frac{3}{4}$.

a, b, c) Sử dụng kiến thức về giải phương trình mũ cơ bản để giải phương trình:

${a^x} = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$

+ Nếu $b \le 0$ thì phương trình vô nghiệm.

+ Nếu $b > 0$ thì phương trình có nghiệm duy nhất $x = {\log _a}b$

Chú ý: Với $a > 0,a \ne 1$ thì ${a^x} = {a^\alpha } \Leftrightarrow x = \alpha$, tổng quát hơn: ${a^{u\left( x \right)}} = {a^{v\left( x \right)}} \Leftrightarrow u\left( x \right) = v\left( x \right)$

d, e, g) Sử dụng kiến thức về giải phương trình lôgarit để giải phương trình:

${\log _a}x = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$

Phương trình luôn có nghiệm duy nhất là $x = {a^b}$.

Chú ý: Với $a > 0,a \ne 1$ thì ${\log _a}u\left( x \right) = b \Leftrightarrow u\left( x \right) = {a^b}$, ${\log _a}u\left( x \right) = {\log _a}v\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u\left( x \right) > 0\\u\left( x \right) = v\left( x \right)\end{array} \right.$ (có thể thay $u\left( x \right) > 0$ bằng $v\left( x \right) > 0$)

a) ${4^x} = \sqrt {2\sqrt 2 }$ $\Leftrightarrow {\left( {\sqrt 2 } \right)^{4x}} = {\left( {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^3}} \right)^{\frac{1}{2}}}$ $\Leftrightarrow {\left( {\sqrt 2 } \right)^{4x}} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^{\frac{3}{2}}}$ $\Leftrightarrow 4x = \frac{3}{2}$ $\Leftrightarrow x = \frac{3}{8}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = \frac{3}{8}$.

b) ${9^{5x}} = {27^{x - 2}}$ $\Leftrightarrow {3^{10x}} = {3^{3\left( {x - 2} \right)}}$ $\Leftrightarrow 10x = 3x - 6$ $\Leftrightarrow 7x = - 6$ $\Leftrightarrow x = \frac{{ - 6}}{7}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = \frac{{ - 6}}{7}$

c) Điều kiện: $x > 0$

${\log _{81}}x = \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow x = {81^{\frac{1}{2}}} = 9$ (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 9$

d) Điều kiện: $x > \frac{1}{4}$

${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {3x + 1} \right) = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {4x - 1} \right)$ $\Leftrightarrow 3x + 1 = 4x - 1$ $\Leftrightarrow x = 2\left( {tm} \right)$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 2$.

e) Điều kiện: $x > 2$

${\log _5}\left( {x - 2} \right) + {\log _5}\left( {x + 2} \right) = 1$ $\Leftrightarrow {\log _5}\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) = {\log _5}5$ $\Leftrightarrow {x^2} - 4 = 5$

$\Leftrightarrow {x^2} = 9$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\left( {TM} \right)\\x = - 3\left( L \right)\end{array} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 3$.

g) Điều kiện: $x > 0,x \ne 1$

${\log _x}8 = \frac{3}{4}$ $\Leftrightarrow 8 = {x^{\frac{3}{4}}}$ $\Leftrightarrow {16^{\frac{3}{4}}} = {x^{\frac{3}{4}}}$ $\Leftrightarrow x = 16\left( {tm} \right)$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 16$.