Cho \(\alpha \) là số thỏa mãn \({3^\alpha } - {3^{ - \alpha }} = 2\). Tìm giá trị của các biểu thức:
a) \({3^\alpha } + {3^{ - \alpha }}\);
b) \({9^\alpha } - {9^{ - \alpha }}\).
Sử dụng kiến thức về lũy thừa với số mũ để tính: \({\left( {{a^\alpha }} \right)^\beta } = {a^{\alpha \beta }}\), \({a^\alpha }.{a^\beta } = {a^{\alpha + \beta }}\)
a) Ta có: \({\left( {{3^\alpha } + {3^{ - \alpha }}} \right)^2} \) \( = {3^{2\alpha }} + {2.3^\alpha }{.3^{ - \alpha }} + {3^{ - 2\alpha }} \) \( = {3^{2\alpha }} - {2.3^\alpha }{.3^{ - \alpha }} + {3^{ - 2\alpha }} + {4.3^\alpha }{.3^{ - \alpha }}\)
\( = {\left( {{3^\alpha } - {3^{ - \alpha }}} \right)^2} + 4 \) \( = {2^2} + 4 \) \( = 8\)
Do đó: \({3^\alpha } + {3^{ - \alpha }} \) \( = 2\sqrt 2 \) (do \({3^\alpha } + {3^{ - \alpha }} > 0\))
b) \({9^\alpha } - {9^{ - \alpha }} \) \( = {3^{2\alpha }} - {3^{ - 2\alpha }} \) \( = \left( {{3^\alpha } + {3^{ - \alpha }}} \right)\left( {{3^\alpha } - {3^{ - \alpha }}} \right) \) \( = 2.2\sqrt 2 \) \( = 4\sqrt 2 \)