Bài 7 trang 26 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2: Cho $\alpha$ là số thỏa mãn ${3^\alpha } - {3^{ - \alpha }} = 2$...

Cho $\alpha$ là số thỏa mãn ${3^\alpha } - {3^{ - \alpha }} = 2$. Tìm giá trị của các biểu thức:

a) ${3^\alpha } + {3^{ - \alpha }}$;

b) ${9^\alpha } - {9^{ - \alpha }}$.

Sử dụng kiến thức về lũy thừa với số mũ để tính: ${\left( {{a^\alpha }} \right)^\beta } = {a^{\alpha \beta }}$, ${a^\alpha }.{a^\beta } = {a^{\alpha + \beta }}$

a) Ta có: ${\left( {{3^\alpha } + {3^{ - \alpha }}} \right)^2}$ $= {3^{2\alpha }} + {2.3^\alpha }{.3^{ - \alpha }} + {3^{ - 2\alpha }}$ $= {3^{2\alpha }} - {2.3^\alpha }{.3^{ - \alpha }} + {3^{ - 2\alpha }} + {4.3^\alpha }{.3^{ - \alpha }}$

$= {\left( {{3^\alpha } - {3^{ - \alpha }}} \right)^2} + 4$ $= {2^2} + 4$ $= 8$

Do đó: ${3^\alpha } + {3^{ - \alpha }}$ $= 2\sqrt 2$ (do ${3^\alpha } + {3^{ - \alpha }} > 0$)

b) ${9^\alpha } - {9^{ - \alpha }}$ $= {3^{2\alpha }} - {3^{ - 2\alpha }}$ $= \left( {{3^\alpha } + {3^{ - \alpha }}} \right)\left( {{3^\alpha } - {3^{ - \alpha }}} \right)$ $= 2.2\sqrt 2$ $= 4\sqrt 2$