Giải các bất phương trình sau:
a) \({32^{2x}} \ge {64^{x - 2}}\);
b) \(25.{\left( {\frac{2}{5}} \right)^{{x^2} + 2x + 2}} > 4\);
c) \(\log \left( {11x + 1} \right)
d) \({\log _{\frac{1}{3}}}\left( {3x - 1} \right) \ge {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {2x + 1} \right)\).
a, b) Sử dụng kiến thức về giải bất phương trình chứa mũ để giải bất phương trình:
Bảng tổng kết về nghiệm của các bất phương trình:
|
Bất phương trình |
\(b \le 0\) |
\(b > 0\) |
|
|
\(a > 1\) |
\(0 |
||
|
\({a^x} > b\) |
\(\forall x \in \mathbb{R}\) |
\(x > {\log _a}b\) |
\(x |
|
\({a^x} \ge b\) |
\(x \ge {\log _a}b\) |
\(x \le {\log _a}b\) |
|
|
\({a^x} |
Vô nghiệm |
\(x |
\(x > {\log _a}b\) |
|
\({a^x} \le b\) |
\(x \le {\log _a}b\) |
\(x \ge {\log _a}b\) |
|
Chú ý:
+ Nếu \(a > 1\) thì \({a^{u\left( x \right)}} > {a^{v\left( x \right)}} \Leftrightarrow u\left( x \right) > v\left( x \right)\)
+ Nếu \(0 {a^{v\left( x \right)}} \Leftrightarrow u\left( x \right)
c, d) Sử dụng kiến thức về giải bất phương trình lôgarit để giải bất phương trình:
Bảng tổng kết về nghiệm của các bất phương trình:
|
Bất phương trình |
\(a > 1\) |
\(0 |
|
\({\log _a}x > b\) |
\(x > {a^b}\) |
\(0 |
|
\({\log _a}x \ge b\) |
\(x \ge {a^b}\) |
\(0 |
|
\({\log _a}x |
\(0 |
\(x > {a^b}\) |
|
\({\log _a}x \le b\) |
\(0 |
\(x \ge {a^b}\) |
Chú ý:
+ Nếu \(a > 1\) thì \({\log _a}u\left( x \right) > {\log _a}v\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v\left( x \right) > 0\\u\left( x \right) > v\left( x \right)\end{array} \right.\)
+ Nếu \(0 {\log _a}v\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u\left( x \right) > 0\\u\left( x \right)
a) \({32^{2x}} \ge {64^{x - 2}} \) \( \Leftrightarrow {2^{5.2x}} \ge {2^{6\left( {x - 2} \right)}} \) \( \Leftrightarrow 10x \ge 6x - 12 \) \( \Leftrightarrow 4x \ge - 12 \) \( \Leftrightarrow x \ge - 3\)
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là: \(x \ge - 3\)
b) \(25.{\left( {\frac{2}{5}} \right)^{{x^2} + 2x + 2}} > 4 \) \( \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{5}} \right)^{{x^2} + 2x + 2}} > {\left( {\frac{2}{5}} \right)^2} \) \( \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 2
\( \) \( \Leftrightarrow x\left( {x + 2} \right)
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là: \( - 2
c) Điều kiện: \(x > \frac{{ - 1}}{{11}}\)
\(\log \left( {11x + 1} \right)
Kết hợp với điều kiện ta có: \(\frac{{ - 1}}{{11}}
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là: \(\frac{{ - 1}}{{11}}
d) Điều kiện: \(x > \frac{1}{3}\)
\({\log _{\frac{1}{3}}}\left( {3x - 1} \right) \ge {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {2x + 1} \right) \) \( \Leftrightarrow 3x - 1 \le 2x + 1 \) \( \Leftrightarrow x \le 2\)
Kết hợp với điều kiện ta có: \(\frac{1}{3}
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là: \(\frac{1}{3}