Bài 1.56 trang 28 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x \(A = \sin \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right)...

Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x

a) $A = \sin \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)$;

b) $B = \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)$;

c) $C = {\sin ^2}x + \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)$;

d) $D = \frac{{1 - \cos 2x + \sin 2x}}{{1 + \cos 2x + \sin 2x}}.\cot x$.

Áp dụng công thức góc liên quan, công thức biến tích thành tổng, công thức góc nhân đôi, công thức lượng giác cơ bản để biến đổi linh hoạt.

$\cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \sin x$

$\cos a\cos b = \frac{1}{2}\left( {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right)$

$\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a = 2{\cos ^2}a - 1$

$\sin 2a = 2\sin a\cos a$

$\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}}\,;\,\,\cot a = \frac{{\cos a}}{{\sin a}}$; $\tan a.\cot a = 1$.

a) Ta có

$\begin{array}{l}A = \sin \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right)} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\\\,\,\,\,\,\, = \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = 0\end{array}$

b) Ta có

$\begin{array}{l}B = \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)} \right)\\\,\,\,\,\, = \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = 0\end{array}$

c) Ta có

$\begin{array}{l}C = {\sin ^2}x + \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\\\,\,\,\,\, = {\sin ^2}x + \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{\pi }{3} - x + \frac{\pi }{3} + x} \right) + \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x - \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)} \right)} \right]\\\,\,\,\,\, = {\sin ^2}x + \frac{1}{2}\left[ {\cos \frac{{2\pi }}{3} + \cos ( - 2x)} \right] = {\sin ^2}x + \frac{1}{2}\left( { - \frac{1}{2} + \cos 2x} \right)\\\,\,\,\,\, = {\sin ^2}x - \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) = \frac{1}{4}\end{array}$

d) Ta có

$\begin{array}{l}D = \frac{{1 - \cos 2x + \sin 2x}}{{1 + \cos 2x + \sin 2x}}.\cot x\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{1 - (1 - 2{{\sin }^2}x) + 2\sin x\cos x}}{{1 + 2{{\cos }^2}x - 1 + 2\sin x\cos x}}.\cot x\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{2{{\sin }^2}x + 2\sin x\cos x}}{{2{{\cos }^2}x + 2\sin x\cos x}}.\cot x\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{2\sin x(\sin x + \cos x)}}{{2\cos x(\cos x + \sin x)}}.\cot x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}.\cot x = \tan x.\cot x = 1\end{array}$