Bài 1.60 trang 29 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau...

Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a) $y = {\sin ^3}x - \cot x;$

b) $y = \frac{{\cos x + {{\tan }^2}x}}{{\cos x}}$;

c) $y = \sin 2x + \cos x$;

d) $y = 2\cos \left( {\frac{{3\pi }}{4} + x} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)$.

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số, xét xem với mọi $x \in D$, $- x \in D$ hay không.

Bước 2: Xét $f( - x)$

+) Nếu $f( - x) = f(x)$ thì đó là hàm số chẵn.

+) Nếu $f( - x) = - f(x)$ thì đó là hàm số lẻ.

+) Nếu không rơi vào 2 trường hợp trên thì đó là hàm số không chẵn không lẻ.

a) Hàm số $f(x) = {\sin ^3}x - \cot x;$ có tập xác định D

$\forall x \in D$ ta có$f( - x) = {\sin ^3}\left( { - x} \right) - \cot \left( { - x} \right) = - {\sin ^3}x - ( - \cot x) = - ({\sin ^3}x - \cot x) = - f(x)$

Vậy hàm số đó là hàm số lẻ.

b) Hàm số $y = \frac{{\cos x + {{\tan }^2}x}}{{\cos x}}$ có tập xác định D

$\forall x \in D$ ta có$f( - x) = {\sin ^3}\left( { - x} \right) - \cot \left( { - x} \right) = \frac{{\cos \,( - x) + {{\tan }^2}( - x)}}{{\cos \,( - x)}} = \frac{{\cos x + {{\tan }^2}x}}{{\cos x}} = f(x)$.

Vậy hàm số đó là hàm số chẵn.

c) Hàm số $y = \sin 2x + \cos x$ có tập xác định D$= \mathbb{R}$.

$\forall x \in D$ ta có

$\begin{array}{l}f( - x) = \sin \left( { - 2x} \right) + \cos \left( { - x} \right) = - \sin 2x + \cos x \ne f(x)\\f( - x) \ne - f(x)\end{array}$

Vậy hàm số đó là hàm số không chẵn không lẻ.

d) Hàm số $f(x) = 2\cos \left( {\frac{{3\pi }}{4} + x} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)$có tập xác định D$= \mathbb{R}$.

$\begin{array}{l}y = 2\cos \left( {\frac{{3\pi }}{4} + x} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \sin \left( {\frac{{3\pi }}{4} + x + \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)} \right) - \sin \left( {\frac{{3\pi }}{4} + x - \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)} \right)\\\,\,\,\,\, = \sin \pi - \sin \left( {\frac{\pi }{2} + 2x} \right) = - \sin \left( {\frac{\pi }{2} + 2x} \right) = \sin \left( {\pi - \left( {\frac{\pi }{2} + 2x} \right)} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) = \cos 2x\end{array}$

$\forall x \in D$ ta có$f( - x) = \cos \left( { - 2x} \right) = \cos 2x = f(x)$

Vậy hàm số đó là hàm số chẵn.