Bài 1.61 trang 29 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Xét tính tuần hoàn của các hàm số sau...

Xét tính tuần hoàn của các hàm số sau:

a) $y = \sin \frac{x}{2} + \cos 3x$;

b) $y = \cos 5x + \tan \frac{x}{3}$.

Bước 1: Tập xác định D.

Bước 2: Chứng minh rằng với mọi $x \in D$, $x + T \in D$và $f(x + T) = f(x)$.

a) Hàm số $f(x) = \sin \frac{x}{2} + \cos 3x$ có tập xác định D

Hàm số $\sin \frac{x}{2}$ tuần hoàn với chu kì ${T_1} = \frac{{2\pi }}{{1/2}} = 4\pi$.

Hàm số $\cos 3x$ tuần hoàn với chu kì ${T_2} = \frac{{2\pi }}{3}$.

Ta thấy $4\pi = 6.\frac{{2\pi }}{3}$. Vậy ta xét sự tuần hoàn của hàm số như sau:

$\begin{array}{l}f(x + 4\pi ) = \sin \frac{{x + 4\pi }}{2} + \cos 3(x + 4\pi )\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sin \left( {x + 2\pi } \right) + \cos (3x + 12\pi )\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sin \frac{x}{2} + \cos 3x = f(x)\end{array}$

Vậy hàm số tuần hoàn với chu kì $4\pi$.

b) Hàm số $y = \cos 5x + \tan \frac{x}{3}$ có tập xác định D

Hàm số $\tan \frac{x}{3}$ tuần hoàn với chu kì ${T_1} = \frac{\pi }{{1/3}} = 3\pi$.

Hàm số $\cos 5x$ tuần hoàn với chu kì ${T_2} = \frac{{2\pi }}{5}$.

Ta thấy $6\pi = 3.\frac{{2\pi }}{5}.5$. Vậy ta xét sự tuần hoàn của hàm số như sau:

$\begin{array}{l}f(x + 6\pi ) = y = \cos 5\left( {x + 6\pi } \right) + \tan \frac{{x + 6\pi }}{3}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \cos \left( {5x + 30\pi } \right) + \tan \left( {\frac{x}{3} + 2\pi } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \cos 5x + \tan \frac{x}{3} = f(x)\end{array}$

Vậy hàm số tuần hoàn với chu kì $6\pi$.