Bài 2.11 trang 36 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Mỗi dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ sau có phải là một cấp số cộng không? Nếu có...

Mỗi dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ sau có phải là một cấp số cộng không? Nếu có, hãy tìm số hạng đầu và công sai của nó:

a) ${u_n} = 4 - 3n$;

b) ${u_n} = {n^2} + 1;$;

c) ${u_n} = 2n + 5$;

d) ${u_1} = 3,{u_{n + 1}} = {u_n} + n$.

Sử dụng kiến thức về cấp số cộng: Cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với công thức d được cho bởi công thức: ${u_n} = {u_{n - 1}} + d$ với $n \ge 2$

a) ${u_n} = 4 - 3n$ nên ${u_{n + 1}} = 4 - 3\left( {n + 1} \right) = 1 - 3n$

Do đó, ${u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {1 - 3n} \right) - \left( {4 - 3n} \right) = - 3\forall n.$ Vậy dãy số trên là cấp số cộng với số hạng đầu là 4, công sai là

b) ${u_n} = {n^2} + 1$ nên ${u_{n + 1}} = {\left( {n + 1} \right)^2} + 1 = {n^2} + 2n + 2$

Do đó, ${u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {{n^2} + 2n + 2} \right) - \left( {{n^2} + 1} \right) = 2n + 1,$ phụ thuộc vào n.

Vậy dãy số trên không là cấp số cộng.

c) ${u_n} = 2n + 5$ nên ${u_{n + 1}} = 2\left( {n + 1} \right) + 5 = 2n + 7$

Do đó, ${u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {2n + 7} \right) - \left( {2n + 5} \right) = 2\forall n.$ Vậy dãy số trên là cấp số cộng.

d) Từ hệ thức truy hồi ta có ${u_{n + 1}} - {u_n} = n,$ phụ thuộc vào n. Vậy dãy số không là cấp số cộng.