Bài 38 trang 71 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Hai biến cố $A$ và $B$ có độc lập hay không?...

Gieo hai xúc xắc I và II cân đối, đồng chất một cách độc lập. Xét các biến cố $A,B$ sau đây:

$A$: "Có ít nhất một xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm”.

$B$: "Tổng số chấm xuất hiện trên mặt của hai xúc xắc bằng 7 ".

a) Tính $P\left( A \right),P\left( B \right)$.

b) Hai biến cố $A$ và $B$ có độc lập hay không?

$n\left( \Omega \right) = 6.6 = 36$

a) Liệt kê các kết quả thuận lợi cho $B$ $\Rightarrow n\left( B \right) \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}$

Tìm kết quả thuận lợi cho $A$ $\Rightarrow n\left( A \right) \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}$

b) Xét biến cố $AB$: "Tổng số chấm xuất hiện trên mặt của hai xúc xắc bằng 7, trong đó có ít nhất một xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm.”

Liệt kê các kết quả thuận lợi cho$AB$

Từ đó suy ra $P\left( {AB} \right)$.

Kiểm tra nếu $P\left( {AB} \right) \ne P\left( A \right)P\left( B \right)$ suy ra $A,B$ không độc lập.

Kiểm tra nếu $P\left( {AB} \right) = P\left( A \right)P\left( B \right)$ suy ra $A,B$ độc lập.

$n\left( \Omega \right) = 6.6 = 36$

a) Các kết quả thuận lợi cho $B$ là: $\left( {1,6} \right);\left( {2,5} \right);\left( {3,4} \right);\left( {4,3} \right);\left( {5,2} \right);\left( {6,1} \right)$.

Vậy $P\left( B \right) = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}$.

Các kết quả thuận lợi cho $A$ là$\left( {1,6} \right);\left( {2,6} \right);\left( {3,6} \right);\left( {4,6} \right);\left( {5,6} \right);\left( {6,6} \right);\left( {6;1} \right);\left( {6;2} \right);\left( {6;3} \right);\left( {6;4} \right);\left( {6;5} \right)$.

$n\left( A \right) = 11 \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{11}}{{36}}$.

b) Xét biến cố $AB$: "Tổng số chấm xuất hiện trên mặt của hai xúc xắc bằng 7, trong đó có ít nhất một xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm.”

Các kết quả thuận lợi cho $AB$ là $\left( {1,6} \right);\left( {6,1} \right)$.

Do đó: $P\left( {AB} \right) = \frac{2}{{36}} = \frac{1}{{18}}$.

Lại có $P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) = \frac{{11}}{{36}} \cdot \frac{1}{6} = \frac{{11}}{{216}}$.

Suy ra $P\left( {AB} \right) \ne P\left( A \right)P\left( B \right)$. Vậy $A,B$ không độc lập.