Bài 2.19 trang 74 SBT Hình học 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, đáy lớn là AD và AD =...

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, đáy lớn là AD và AD = 2BC. Gọi O là giao điểm của AC và BD, G là trọng tâm của tam giác SCD.

a) Chứng minh rằng $OG\parallel \left( {SBC} \right)$

b) Cho M là trung điểm của SD. Chứng minh rằng $CM\parallel \left( {SAB} \right)$.

c) Giả sử điểm I nằm trong đoạn SC sao cho $S{\rm{C = }}{3 \over 2}SI$. Chứng minh rằng $SA\parallel \left( {BI{\rm{D}}} \right)$.

a) Gọi H là trung điểm của SC

Ta có:

${{DG} \over {DH}} = {2 \over 3} \,\,\,\,\, \left( 1 \right)$ 

$BC\parallel A{\rm{D}} \Rightarrow {{O{\rm{D}}} \over {OB}} = {{OA} \over {OC}} = {{AD} \over {BC}} = 2$ 

$\Rightarrow O{\rm{D}} = 2{\rm{O}}B$ 

$\Rightarrow {{O{\rm{D}}} \over {B{\rm{D}}}} = {2 \over 3} \,\,\,\, \left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow {{DG} \over {DH}} = {{O{\rm{D}}} \over {B{\rm{D}}}} \Rightarrow OG\parallel BH$

$BH \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow OG\parallel \left( {SBC} \right)$

b) Gọi M’ là trung điểm của $SA \Rightarrow MM’\parallel A{\rm{D}}$ và $MM’ = {{A{\rm{D}}} \over 2}$. Mặt khác vì $BC\parallel A{\rm{D}}$ và $BC = {{A{\rm{D}}} \over 2}$ nên $BC\parallel MM’$ và $BC = MM’$.

Do đó tứ giác BCMM’ là hình bình hành $\Rightarrow CM\parallel BM’$ mà $BM’ \subset \left( {SAB} \right)$

$\Rightarrow CM\parallel \left( {SAB} \right)$ 

c) Ta có: ${{OC} \over {OA}} = {1 \over 2}$ nên ${{OC} \over {CA}} = {1 \over 3}$. Mặt khác vì $SC = {3 \over 2}SI$ nên ${{CI} \over {CS}} = {1 \over 3}$.

${{OC} \over {CA}} = {{CI} \over {CS}} \Rightarrow OI\parallel SA$

$OI \subset \left( {BID} \right) \Rightarrow SA\parallel \left( {BID} \right)$