Trang chủ Lớp 11 SBT Toán lớp 11 (sách cũ) Bài 2.20 trang 74 Sách BT Hình học 11: Mặt phẳng này...

Bài 2.20 trang 74 Sách BT Hình học 11: Mặt phẳng này lần lượt cắt các cạnh BC, BD và AD tại N, P và...

Mặt phẳng này lần lượt cắt các cạnh BC, BD và AD tại N, P và Q.. Bài 2.20 trang 74 Sách bài tập (SBT) Hình học 11 - Bài 3. Đường thẳng và mặt phẳng song song

Cho tứ diện ABCD. Qua điểm M nằm trên AC ta dựng một mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) song song với AB và CD. Mặt phẳng này lần lượt cắt các cạnh BC, BD và AD tại N, P và Q.

a) Tứ giác MNPQ là hình gì?

b) Gọi O là giao điểm hai đường chéo của tứ giác MNPQ. Tìm tập hợp các điểm O khi M di động trên đoạn AC.

a) 

\(\left\{ \matrix{
\left( \alpha \right)\parallel AB \hfill \cr
AB \subset \left( {ABC} \right) \hfill \cr} \right.\)

\( \Rightarrow \left( \alpha  \right) \cap \left( {ABC} \right) = MN\) và \(MN\parallel AB\)

Ta có \(N \in \left( {BC{\rm{D}}} \right)\)

Và  \(\left\{ \matrix{\left( \alpha \right)\parallel C{\rm{D}} \hfill \cr C{\rm{D}} \subset \left( {BCD} \right) \hfill \cr} \right.\)

Nên \( \Rightarrow \left( \alpha  \right) \cap \left( {BCD} \right) = NP\) và \(NP\parallel C{\rm{D}}\)

Ta có \(P \in \left( {AB{\rm{D}}} \right)\)

Và  \(\left\{ \matrix{\left( \alpha \right)\parallel AB \hfill \cr AB \subset \left( {ABD} \right) \hfill \cr} \right.\) nên \( \Rightarrow \left( \alpha  \right) \cap \left( {ABD} \right) = PQ\) và \(PQ\parallel AB\)

Advertisements (Quảng cáo)

\(\left\{ \matrix{
Q \in \left( {ACD} \right) \hfill \cr
\left( \alpha \right)\parallel C{\rm{D}} \hfill \cr} \right.\) nên \( \Rightarrow \left( \alpha  \right) \cap \left( {ACD} \right) = MQ\) và \(MQ\parallel C{\rm{D}}\)

Do đó \(MN\parallel PQ\) và \(NP\parallel MQ\), Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành.

b)  Ta có: \(MP \cap NQ = O\). Gọi I là trung điểm của CD.

Trong tam giác ACD có : \(MQ\parallel C{\rm{D}} \Rightarrow AI\) cắt MQ tại trung điểm E của MQ.

Trong tam giác ACD có : \(NP\parallel C{\rm{D}} \Rightarrow BI\) cắt NP tại trung điểm F của NP.

Vì MNPQ là hình bình hành nên ta có  

\(\left\{ \matrix{
EF\parallel MN \hfill \cr
O\,là\,trung\,điểm\,EF\, \hfill \cr} \right.\)

\(EF\parallel MN \Rightarrow EF\parallel AB\) 

Trong ∆ABI ta có \(EF\parallel AB\) suy ra : IO cắt AB tại trung điểm J

\( \Rightarrow I,O,J\) thẳng hàng

\( \Rightarrow O \in IJ\) cố định.

Vì M di động trên đoạn AC nên Ochạy trong đoạn IJ . Vậy tập hợp các điểm O là đoạn IJ.

Bạn đang xem bài tập, chương trình học môn SBT Toán lớp 11 (sách cũ). Vui lòng chọn môn học sách mới cần xem dưới đây:

Advertisements (Quảng cáo)