Bài 2.21 trang 75 SBT Hình học 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. M là một điểm di...

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. M là một điểm di động trên đoạn AB. Một mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ đi qua M và song song với SA và BC; $\left( \alpha  \right)$ cắt SB, SC và CD lần lượt tại N, P và Q

a) Tứ giác MNPQ là hình gì?

b) Gọi I là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh rằng I nằm trên một đường thẳng cố định.

a) Vì $M \in \left( {SAB} \right)$

Và $\left\{ \matrix{\left( \alpha \right)\parallel SA \hfill \cr SA \subset \left( {SAB} \right) \hfill \cr} \right.$ nên $\left( \alpha  \right) \cap \left( {SAB} \right) = MN$

và $MN\parallel SA$

Vì $N \in \left( {SBC} \right)$

Và $\left\{ \matrix{\left( \alpha \right)\parallel BC \hfill \cr BC \subset \left( {SBC} \right) \hfill \cr} \right.$ nên $\left( \alpha  \right) \cap \left( {SBC} \right) = NP$

và $NP\parallel BC \,\,\, \left( 1 \right)$

$\left\{ \matrix{ P,Q \in \left( \alpha \right) \hfill \cr P,Q \in \left( {SC{\rm{D}}} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {SC{\rm{D}}} \right) = PQ$

$Q \in C{\rm{D}} \Rightarrow Q \in \left( {ABC{\rm{D}}} \right)$ 

Và$\left\{ \matrix{\left( \alpha \right)\parallel BC \hfill \cr BC \subset \left( {ABCD} \right) \hfill \cr} \right.$ nên $\left( \alpha  \right) \cap \left( {ABCD} \right) = QM$ 

và $QM\parallel BC \,\,\, \left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác MNPQ là hình thang.

b) Ta có:

$\left\{ \matrix{ S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SC{\rm{D}}} \right) \hfill \cr AB \subset \left( {SAB} \right),C{\rm{D}} \subset \left( {SC{\rm{D}}} \right) \hfill \cr AB\parallel C{\rm{D}} \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( {SC{\rm{D}}} \right) = Sx$ và $S{\rm{x}}\parallel AB\parallel C{\rm{D}}$

$MN \cap PQ = I \Rightarrow \left\{ \matrix{ I \in MN \hfill \cr I \in PQ \hfill \cr} \right.$

$MN \subset \left( {SAB} \right) \Rightarrow I \in \left( {SAB} \right),PQ \subset \left( {SC{\rm{D}}} \right) \Rightarrow I \in \left( {SC{\rm{D}}} \right)$

$\Rightarrow I \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SC{\rm{D}}} \right) \Rightarrow I \in Sx$  

(SAB) và (SCD) cố định ⇒ Sx cố định ⇒ I thuộc Sx cố định.