Bài 2 trang 52 Toán 11 tập 1 - Cánh diều: Trong các dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số cộng?...

Trong các dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số cộng? Nếu là cấp số cộng, hãy tìm số hạng đầu ${u_1}$ và công sai d.

a) ${u_n} = 3 - 2n$

b) ${u_n} = \frac{{3n + 7}}{5}$

c) ${u_n} = {3^n}$

Dựa vào công thức tổng quát của cấp số cộng để xác định

a) Dãy số trên là cấp số cộng

Ta có:

$\begin{array}{l}{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d \Rightarrow {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 3 - 2n\\ \Leftrightarrow {u_1} + nd - d = 3 - 2n\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} - d = 3\\nd = - 2n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = - 2\end{array} \right.\end{array}$

b) Dãy số trên là cấp số cộng

Ta có:

$\begin{array}{l}{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d \Rightarrow {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = \frac{{3n + 7}}{5}\\ \Leftrightarrow {u_1} + nd - d = \frac{{3n}}{5} + \frac{7}{5}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} - d = \frac{7}{5}\\nd = \frac{3}{5}n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\d = \frac{3}{5}\end{array} \right.\end{array}$

c) Dãy số đã cho không là cấp số cộng

Ta có: $u_{n+1} = 3^{n+1} = 3.3^n$

Xét hiệu $u_{n+1} – u_n = 3.3^n – 3^n = 2.3^n$ với n ∈ ℕ*