Bài 2 trang 65 Toán 11 tập 1 - Cánh Diều: Tính các giới hạn sau: $\lim \frac{{5n + 1}}{{2n}};$...

Tính các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{{5n + 1}}{{2n}};$

b) $\lim \frac{{6{n^2} + 8n + 1}}{{5{n^2} + 3}};$

c) $\lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 5n + 3} }}{{6n + 2}};$

d) $\lim \left( {2 - \frac{1}{{{3^n}}}} \right);$

e) $\lim \frac{{{3^n} + {2^n}}}{{{{4.3}^n}}};$

g) $\lim \frac{{2 + \frac{1}{n}}}{{{3^n}}}.$

Sử dụng định lí về giới hạn hữu hạn kết hợp với một số giới hạn cơ bản.

Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn.

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0$, kí hiệu $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a$ hay ${u_n} \to a$ khi $n \to + \infty$ hay $\lim {u_n} = a$.

a) $\lim \frac{{5n + 1}}{{2n}} = \lim \frac{{5 + \frac{1}{n}}}{2} = \frac{{5 + 0}}{2} = \frac{5}{2}$

b) $\lim \frac{{6{n^2} + 8n + 1}}{{5{n^2} + 3}} = \lim \frac{{6 + \frac{8}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{5 + \frac{3}{{{n^2}}}}} = \frac{{6 + 0 + 0}}{{5 + 0}} = \frac{6}{5}$

c) $\lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 5n + 3} }}{{6n + 2}} = \lim \frac{{\sqrt {1 + \frac{5}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}} }}{{6 + \frac{2}{n}}} = \frac{{\sqrt {1 + 0 + 0} }}{{6 + 0}} = \frac{1}{6}$

d) $\lim \left( {2 - \frac{1}{{{3^n}}}} \right) = \lim 2 - \lim {\left( {\frac{1}{3}} \right)^n} = 2 - 0 = 2$

e) $\lim \frac{{{3^n} + {2^n}}}{{{{4.3}^n}}} = \lim \frac{{1 + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}}}{4} = \frac{{1 + 0}}{4} = \frac{1}{4}$

g) $\lim \frac{{2 + \frac{1}{n}}}{{{3^n}}}$

Ta có $\lim \left( {2 + \frac{1}{n}} \right) = \lim 2 + \lim \frac{1}{n} = 2 + 0 = 2 > 0;\lim {3^n} = + \infty \Rightarrow \lim \frac{{2 + \frac{1}{n}}}{{{3^n}}} = 0$