Bài 6 trang 65 Toán 11 tập 1 - Cánh Diều: Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R...

Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R, C₁ là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính $\frac{{AB}}{2},$, C₂ là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính $\frac{{AB}}{4},...$

Gọi p_n là độ dài của C_n, S_n là diện tích hình phẳng giới hạn bởi C_n và đoạn thẳng AB.

a) Tính p_n, S_n.

b) Tìm giới hạn của các dãy số (p_n) và (S_n).

Chu vi hình tròn $C = \pi d$

Diện tích hình tròn $S = \pi {R^2}$

a) Vì C_n là nửa đường tròn đường kính $\frac{{AB}}{{{2^n}}}$ nên ta có ${p_n} = \frac{1}{2}{.2^n}.\frac{{AB}}{{{2^n}}}.\pi = {2^n}.\frac{R}{{{2^n}}}.\pi = \pi R$

Đường kính $\frac{{AB}}{{{2^n}}} = \frac{{2R}}{{{2^n}}}$ nên bánh kính $\frac{R}{{{2^n}}}$

${S_n} = {2^n}.{\left( {\frac{R}{{{2^n}}}} \right)^2}.\frac{\pi }{2} = \frac{{\pi {R^2}}}{2}.\frac{1}{{{2^n}}} = \frac{{\pi {R^2}}}{{{2^{n + 1}}}}$

b) $\begin{array}{l}\lim {p_n} = \lim \left( {\pi R} \right) = \pi R\\\lim {S_n} = \lim \frac{{\pi {R^2}}}{{{2^{n + 1}}}} = \lim \left[ {\frac{{\pi {R^2}}}{2}.{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right] = \lim \frac{{\pi {R^2}}}{2}.\lim {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 0\end{array}$