Giải mục 1 trang 16, 17 Toán 11 tập 1 - Cánh Diều: Cho $a = \frac{\pi}{6}, b = \frac{\pi}{3}$. Hãy tính sina, cosa, sinb, cosb và sin(a + b)...

Hoạt động 1

a) Cho $a = \frac{\pi}{6}, b = \frac{\pi}{3}$. Hãy tính sina, cosa, sinb, cosb và sin(a + b). Từ đó rút ra đẳng thức sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb (*).

b) Tính sin(a – b) bằng cách biến đổi sin(a – b) = sin[a + (‒b)] và sử dụng công thức (*).

Dựa vào công thức sin, cos đã học để xác định

a) Với $a = \frac{\pi}{6}$ ta có $sin a = sin\frac{\pi}{6} =\frac{1}{2}$; $cos a = cos\frac{\pi}{6} =\frac{\sqrt 3}{2}$

Với $b = \frac{\pi}{3}$ ta có $sin b = sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt 3}{2}$; $cosb = cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

Ta có $sin(a+b) = sin(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3})=sin \frac{\pi}{2}=1$

$sinacosb + cosasinb = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}.\frac{\sqrt 3}{2}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$

Do đó sin(a+b) = sina.cosb +cosa.sinb (vì cùng bằng 1)

b) Ta có sin(a – b) = sin[a + (‒b)]

= sina cos(‒b) + cosa sin(‒b)

= sina cosb + cosa (‒sinb)

= sina cosb ‒ cosa sinb

Luyện tập - VD 1

Tính $\sin \frac{\pi }{{12}}$

Sử dụng công thức cộng đối với sin

Áp dụng công thức cộng, ta có:

$\begin{array}{l}\sin \frac{\pi }{{12}} = \sin \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \frac{\pi }{4}.\cos \frac{\pi }{6} - \cos \frac{\pi }{4}.\sin \frac{\pi }{6}\\ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4}\end{array}$

Hoạt động 2

a) Tính $\cos \left( {a + b} \right)$ bằng cách biến đổi $\cos \left( {a + b} \right) = \sin \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {a + b} \right)} \right] = \sin \left[ {\left( {\frac{\pi }{2} - a} \right) - b} \right]$ và sử dụng công thức cộng đối với sin

b) Tính $\cos \left( {a - b} \right)$ bằng cách biến đổi $\cos \left( {a - b} \right) = \cos \left[ {a + \left( { - b} \right)} \right]$ và sử dụng công thức $\cos \left( {a + b} \right)$ có được ở câu a

Dựa vào công thức cộng sin đã chứng minh ở bên trên để tính

a) $\cos \left( {a + b} \right) = \sin \left[ {\left( {\frac{\pi }{2} - a} \right) - b} \right] = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right).\cos b - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right).\sin b = \cos a.\cos b - \sin a.\sin b$

b) $\cos \left( {a - b} \right) = \cos \left[ {a + \left( { - b} \right)} \right] = \cos a.\cos \left( { - b} \right) - \sin a.\sin \left( { - b} \right) = \sin a.\sin b + \cos a.\cos b$

Luyện tập - VD 2

Tính $\cos {15^ \circ }$

Sử dụng công thức cộng dối với cosin

Áp dụng công thức cộng, ta có:

$\begin{array}{l}\cos {15^ \circ } = \cos ({45^ \circ } - {30^ \circ }) = \cos {45^ \circ }\cos {30^ \circ } + \sin {45^ \circ }\sin {30^ \circ }\\ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}\end{array}$

Hoạt động 3

a) Sử dụng công thức cộng đối với sin và côsin, hãy tính $\tan \left( {a + b} \right)$ theo tan a và tan b khi các biểu thức đều có nghĩa

b) Khi các biểu thức đều có nghĩa, hãy tính $\tan \left( {a - b} \right)$ bằng cách biến đổi $\tan \left( {a - b} \right) = \tan \left[ {a + \left( { - b} \right)} \right]$ và sử dụng công thức $\tan \left( {a + b} \right)$ có được ở câu a.

Dựa vào công thức cộng sin, cos đã chứng minh ở bên trên để tính

a) $\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\sin \left( {a + b} \right)}}{{\cos \left( {a + b} \right)}} = \frac{{\sin a.\cos b + \cos a.\sin b}}{{\cos a.\cos b - \sin a.\sin b}}$

$\begin{array}{l} = \frac{{\sin a.\cos b + \cos a.\cos b}}{{\cos a.\cos b - \sin a.\sin b}} = \frac{{\sin a.\cos b}}{{\cos a.\cos b - \sin a.\sin b}} + \frac{{\cos a.\sin b}}{{\cos a.\cos b - \sin a.\sin b}}\\ = \frac{{\frac{{\sin a.\cos b}}{{\cos a.\cos b}}}}{{\frac{{\cos a.\cos b - \sin a.\sin b}}{{\cos a.\cos b}}}} + \frac{{\frac{{\cos a.\sin b}}{{\cos a.\cos b}}}}{{\frac{{\cos a.\cos b - \sin a.\sin b}}{{\cos a.\cos b}}}} = \frac{{\tan a}}{{1 - \tan a.\tan b}} + \frac{{\tan b}}{{1 - \tan a.\tan b}}\\ = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a.\tan b}}\end{array}$

$\Rightarrow \tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a.\tan b}}$

b)

$\tan \left( {a - b} \right) = \tan \left( {a + \left( { - b} \right)} \right) = \frac{{\tan a + \tan \left( { - b} \right)}}{{1 - \tan a.\tan \left( { - b} \right)}} = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a.\tan b}}$

Luyện tập - VD 3

Tính $\tan {165^ \circ }$

Sử dụng công thức cộng đối với tang

$\begin{array}{l}\tan {165^ \circ } = \tan ({105^ \circ } + {60^ \circ }) = \frac{{\tan {{105}^ \circ } + \tan {{60}^ \circ }}}{{1 - \tan {{105}^ \circ }.\tan {{60}^ \circ }}}\\ = \frac{{ - 2 - \sqrt 3 + \sqrt 3 }}{{1 - ( - 2 - \sqrt 3 ).\sqrt 3 }} = - 2 + \sqrt 3 \end{array}$