Hoạt động 9
Cho hai hàm số \(f(x);\,g(x)\) xác định trên khoảng (a; b), cùng có đạo hàm tại điểm \({x_0} \in (a;b)\)
a) Xét hàm số \(h(x) = f(x) + g(x);\,\,x \in (a;b)\). So sánh
\(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{h({x_0} + \Delta x) - h({x_0})}}{{\Delta x}}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{g({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}} + \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - g({x_0})}}{{\Delta x}}\)
b) Nêu nhận xét về \(h'({x_0})\) và \(f'({x_0}) + g'({x_0})\)
Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
a) Ta có: \(\Delta x = x - {x_0},\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\)
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{h({x_0} + \Delta x) - h({x_0})}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{h\left( x \right) - h\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x) + g(x) - f({x_0}) - g\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{g(x) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} + \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x) - g\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{g\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}} + \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - g\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}}\end{array}\)
b) \(h'({x_0})\) = \(f'({x_0}) + g'({x_0})\)
Luyện tập9
Tính đạo hàm của hàm số $f\left( x \right)=x\sqrt{x}$ tại điểm x dương bất kì.
Dựa vào định lí đạo hàm của tích.
$f’\left( x \right)=x’\sqrt{x}+x\left( \sqrt{x} \right)’=\sqrt{x}+\frac{x}{2\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\frac{1}{2}\sqrt{x}=\frac{3}{2}\sqrt{x}$.
Hoạt động 10
Cho hàm số \(y = f(u) = \sin u;\,\,u = g(x) = {x^2}\)
a) Bằng cách thay u bởi \({x^2}\) trong biểu thức \(\sin u\), hãy biểu thị giá trị của y theo biến số x.
b) Xác định hàm số \(y = f(g(x))\)
Thay biểu thức vào để tính
a) \(f\left( u \right) = \sin {x^2}\)
b) Hàm số: \(y = f\left( {{x^2}} \right) = \sin {x^2}\)
Luyện tập10
Advertisements (Quảng cáo)
Tính đạo hàm của hàm số $f\left( x \right)=\tan x+\cot x$ tại điểm ${{x}_{0}}=\frac{\pi }{3}$.
Dựa vào định lí đạo hàm của tổng và đạo hàm của hàm số lượng giác.
Ta có: $f’\left( x \right)=\tan ‘x+\cot ‘x=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}$
Tại ${{x}_{0}}=\frac{\pi }{3}$, $f’\left( \frac{\pi }{3} \right)=\frac{1}{{{\cos }^{2}}\frac{\pi }{3}}-\frac{1}{{{\sin }^{2}}\frac{\pi }{3}}=4-\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$.
Luyện tập11
Hàm số $y={{\log }_{2}}\left( 3x+1 \right)$ là hàm hợp của hai hàm số nào?
Dựa vào khái niệm của hàm hợp.
Đặt u = 3x + 1, ta có: $y={{\log }_{3}}u$.
Vậy $y={{\log }_{2}}\left( 3x+1 \right)$ là hàm hợp của hai hàm số $y={{\log }_{3}}u$, u = 3x + 1.
Luyện tập12
Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau:
a) $y={{e}^{3x+1}}$
b) $y={{\log }_{3}}\left( 2x-3 \right)$
Dựa vào quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp
a) Đặt u = 3x + 1, y = log3u. Khi đó: y’u = eu; u’x= 3.
Theo công thức đạo hàm của hàm hợp, ta có:
y’x = y’u.u’x = eu.3 = 3.e3x + 1.
b) Đặt u = 2x - 3, y = eu. Khi đó: y’u = $\frac{1}{u\ln 3}$; u’x= 2.
Theo công thức đạo hàm của hàm hợp, ta có:
y’x = y’u.u’x = $\frac{1}{u\ln 3}$.2 = $\frac{2}{\left( 2x-3 \right)\ln 3}$.