1, Giới hạn hữu hạn của dãy số
- Dãy số (un) có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý , kể tử một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu limn→+∞un=0 hay un→0 khi n→+∞ hay limun=0.
- Dãy số (un)có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu limn→+∞(un−a)=0, kí hiệu limn→+∞un=ahay un→a khi n→+∞hay limun=a.
* Chú ý: Nếu un=c (c là hằng số) thì limn→+∞un=c
2. Một số giới hạn cơ bản
+ lim1n=0,lim1nk=0,k∈Z.
+ limcn=0,limcnk=0,k∈Z, c là hằng số.
+ Nếu |q|<1 thì limqn=0
+ lim(1+1n)n=e
3. Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số
a, Nếu limn→+∞un=a,limn→+∞vn=b thì
limn→+∞(un±vn)=a±b
Advertisements (Quảng cáo)
limn→+∞(un.vn)=a.b
limn→+∞(unvn)=ab(b≠0)
b, Nếu un≥0 thì với mọi n và limn→+∞un=a thì a≥0 và limn→+∞√un=√a.
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Cấp số nhân lùi vô hạn u1,u1q,...,u1qn−1,... có công bội q thỏa mãn |q|<1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là:
S=u11−q(|q|<1)
4. Giới hạn vô cực
- Dãy số (un) được gọi là có giới hạn +∞khi n→+∞ nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu limx→+∞un=+∞ hay un→+∞ khi n→+∞.
- Dãy số (un) được gọi là có giới hạn −∞khi n→+∞ nếu limx→+∞(−un)=+∞, kí hiệu limx→+∞un=−∞ hay un→−∞ khi n→+∞.
*Nhận xét:
- limnk=+∞,k∈Z+limqn=+∞;q∈R,q>1.
- Nếu limx→+∞un=avà limx→+∞vn=+∞(hoặclimx→+∞vn=−∞) thì limn→+∞(unvn)=0.
- Nếu limx→+∞un=a>0và limx→+∞vn=0,∀n thì limn→+∞(unvn)=+∞.
- limn→+∞(unvn)=+∞.
- Nếu limx→+∞un=+∞⇔limn→+∞(−un)=−∞
