Bài 10 trang 87 Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo: Cho hình chóp $S. ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$...

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ và $SA = a$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $SB,SC$ và $SD$. Tính khoảng cách giữa $AM$ và $NP$.

Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Cách 1: Dựng đường vuông góc chung.

Cách 2: Tính khoảng cách từ đường thẳng này đến một mặt phẳng song song với đường thẳng đó và chứa đường thẳng còn lại.

$M$ là trung điểm của $SB$

$N$ là trung điểm của $SC$

$\Rightarrow MN$ là đường trung bình của $\Delta SBC$

$\left. \begin{array}{l} \Rightarrow MN\parallel BC\\BC \bot C{\rm{D}}\end{array} \right\} \Rightarrow MN \bot C{\rm{D}}$

Mà $C{\rm{D}}\parallel NP$ $\Rightarrow MN \bot NP$ (1)

$\left. \begin{array}{l}SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC\\AB \bot BC\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)$

Mà $MN\parallel BC$$\Rightarrow MN \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow MN \bot AM$(2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow d\left( {AM,NP} \right) = MN = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}$.