Một chân cột bằng gang có dạng hình chóp cụt tứ giác đều có cạnh đáy lớn bằng 2a, cạnh đáy nhỏ bằng a, chiều cao h = 2a và bán kính đáy phần trụ rỗng bên trong bằng \frac{a}{2}.
a) Tìm góc phẳng nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy.
b) Tính thể tích chân cột nói trên theo a.
‒ Cách xác định góc phẳng nhị diện \left[ {A,d,B} \right]: Dựng mặt phẳng \left( P \right) vuông góc với d, gọi a,a’ lần lượt là giao tuyến của \left( P \right) với hai nửa mặt phẳng chứa A,B, khi đó \left[ {A,d,B} \right] = \left( {a,a’} \right).
‒ Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp cụt đều: V = \frac{1}{3}h\left( {S + \sqrt {SS’} + S’} \right).
‒ Sử dụng công thức tính thể tích khối trụ: V = \pi {R^2}h.
Mô hình hoá chân cột bằng gang bằng cụt chóp tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ với O,O’ là tâm của hai đáy. Vậy AB = 2{\rm{a}},A’B’ = a,OO’ = 2a.
Gọi M,M’ lần lượt là trung điểm của CD,C’D’.
Advertisements (Quảng cáo)
A’B’C'{\rm{D}}’ là hình vuông \Rightarrow O’M’ \bot C'{\rm{D}}’
CDD’C’ là hình thang cân \Rightarrow MM’ \bot C’D’
Vậy \widehat {MM’O’} là góc phẳng nhị diện giữa mặt bên và đáy nhỏ, \widehat {M’MO} là góc phẳng nhị diện giữa mặt bên và đáy lớn.
Kẻ M’H \bot OM\left( {H \in OM} \right)
OMM’O’ là hình chữ nhật
\Rightarrow OH = O’M’ = \frac{a}{2},OM = a,MH = OM - OH = \frac{{\rm{a}}}{2}
\begin{array}{l}\tan \widehat {M’MO} = \frac{{M’H}}{{MH}} = 4\\ \Rightarrow \widehat {M’MO} = 75,{96^ \circ } \Rightarrow \widehat {MM’O’} = {180^ \circ } - \widehat {M’MO} = 104,{04^ \circ }\end{array}
b) Diện tích đáy lớn là: S = A{B^2} = 4{{\rm{a}}^2}
Diện tích đáy bé là: S’ = A’B{‘^2} = {a^2}
Thể tích hình chóp cụt là: {V_1} = \frac{1}{3}h\left( {S + \sqrt {SS’} + S’} \right) = \frac{1}{3}.2a\left( {4{{\rm{a}}^2} + \sqrt {4{{\rm{a}}^2}.{a^2}} + {a^2}} \right) = \frac{{14{{\rm{a}}^3}}}{3}
Thể tích hình trụ rỗng là: {V_2} = \pi {R^2}h = \pi .{\left( {\frac{a}{2}} \right)^2}.2{\rm{a}} = \frac{{\pi {a^3}}}{2}
Thể tích chân cột là: V = {V_1} - {V_2} = \left( {\frac{{14}}{3} - \frac{\pi }{2}} \right){a^3}.