Bài 9 trang 86 Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo: Cho hình vuông $ABCD$ và tam giác đều $SAB$ cạnh $a$ nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với...

Cho hình vuông $ABCD$ và tam giác đều $SAB$ cạnh $a$ nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AD$.

a) Chứng minh rằng $\left( {SMD} \right) \bot \left( {SNC} \right)$.

b) Tính khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $\left( {SNC} \right)$.

‒ Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

‒ Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: Tính khoảng cách từ điểm đó đến hình chiếu của nó lên mặt phẳng.

Gọi $I = CN \cap DM$

$\Delta SAB$ đều $\Rightarrow SM \bot AB$

Mà $\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right),\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB$

$\Rightarrow SM \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SM \bot CN$

$\Delta A{\rm{D}}M = \Delta DCN\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \widehat {AM{\rm{D}}} = \widehat {CN{\rm{D}}}$

Mà $\widehat {AM{\rm{D}}} + \widehat {A{\rm{D}}M} = {90^ \circ }$

$\widehat {CN{\rm{D}}} + \widehat {A{\rm{D}}M} = {90^ \circ } \Rightarrow \widehat {NI{\rm{D}}} = {180^ \circ } - \left( {\widehat {CN{\rm{D}}} + \widehat {A{\rm{D}}M}} \right) = {90^ \circ } \Rightarrow CN \bot DM$

$\left. \begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}SM \bot CN\\CN \bot DM\end{array} \right\} \Rightarrow CN \bot \left( {SM{\rm{D}}} \right)\\CN \subset \left( {SNC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {SNC} \right) \bot \left( {SM{\rm{D}}} \right)$

b) Kẻ $MH \bot SI\left( {H \in SI} \right)$

$CN \bot \left( {SM{\rm{D}}} \right) \Rightarrow CN \bot MH$

$\Rightarrow MH \bot \left( {SNC} \right) \Rightarrow d\left( {M,\left( {SNC} \right)} \right) = MH$

$\Delta C{\rm{D}}N$ vuông tại $D$ có đường cao $DI$

$DN = \frac{1}{2}A{\rm{D}} = \frac{a}{2},CN = \sqrt {C{{\rm{D}}^2} + D{N^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2},DI = \frac{{C{\rm{D}}.DN}}{{CN}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}$

$DM = CN = \frac{{a\sqrt 5 }}{2} \Rightarrow MI = DM - DI = \frac{{3a\sqrt 5 }}{{10}}$

$\Delta SAB$ đều $\Rightarrow SM = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

$\Delta SMI$ vuông tại $M$ có đường cao $MH$

$\Rightarrow MH = \frac{{SM.MI}}{{\sqrt {S{M^2} + M{I^2}} }} = \frac{{3a\sqrt 2 }}{8}$

Vậy $d\left( {M,\left( {SNC} \right)} \right) = \frac{{3a\sqrt 2 }}{8}$