Bài 6 trang 143 Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Thống kê điểm trung bình môn Toán của một số học sinh lớp 11 được cho ở bảng sau...

Thống kê điểm trung bình môn Toán của một số học sinh lớp 11 được cho ở bảng sau:

Hãy ước lượng số trung bình, tứ phân vị và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Sử dụng công thức tính số trung bình, mốt, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm.

Ta có:

Tổng số học sinh: $n = 8 + 10 + 16 + 24 + 13 + 7 + 4 = 82$

• Điểm trung bình môn Toán của các học sinh lớp 11 trên là:

$\bar x = \frac{{8.6,75 + 10.7,25 + 16.7,75 + 24.8,25 + 13.8,75 + 7.9,25 + 4.9,75}}{{82}} = 8,12$

• Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là nhóm $\left[ {8;8,5} \right)$.

Do đó: ${u_m} = 8;{n_{m - 1}} = 16;{n_m} = 24;{n_{m + 1}} = 13;{u_{m + 1}} - {u_m} = 8,5 - 8 = 0,5$

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${M_O} = {u_m} + \frac{{{n_m} - {n_{m - 1}}}}{{\left( {{n_m} - {n_{m - 1}}} \right) + \left( {{n_m} - {n_{m + 1}}} \right)}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 8 + \frac{{24 - 16}}{{\left( {24 - 16} \right) + \left( {24 - 13} \right)}}.0,5 \approx 8,21$

• Gọi ${x_1};{x_2};...;{x_{82}}$ là điểm của các học sinh lớp 11 được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có:

$\begin{array}{l}{x_1},...,{x_8} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {6,5;7} \right)}\end{array};{x_9},...,{x_{18}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {7;7,5} \right)}\end{array};{x_{19}},...,{x_{34}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {7,5;8} \right)}\end{array};{x_{35}},...,{x_{58}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {8;8,5} \right)}\end{array};\\{x_{59}},...,{x_{71}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {8,5;9} \right)}\end{array};{x_{72}},...,{x_{78}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {9;9,5} \right)}\end{array};{x_{79}},...,{x_{82}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {9,5;10} \right)}\end{array}\end{array}$

Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là: $\frac{1}{2}\left( {{x_{41}} + {x_{42}}} \right)$

Ta có: $n = 82;{n_m} = 24;C = 8 + 10 + 16 = 34;{u_m} = 8;{u_{m + 1}} = 8,5$

Do ${x_{41}},{x_{42}} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {8;8,5} \right)}\end{array}$ nên tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là:

${Q_2} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{2} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 8 + \frac{{\frac{{82}}{2} - 34}}{{24}}.\left( {8,5 - 8} \right) \approx 8,15$

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là: ${x_{21}}$.

Ta có: $n = 82;{n_m} = 16;C = 8 + 10 = 18;{u_m} = 7,5;{u_{m + 1}} = 8$

Do ${x_{21}} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {7,5;8} \right)}\end{array}$ nên tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là:

${Q_1} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{4} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 7,5 + \frac{{\frac{{82}}{4} - 18}}{{16}}.\left( {8 - 7,5} \right) \approx 7,58$

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là: ${x_{62}}$.

Ta có: $n = 82;{n_j} = 13;C = 8 + 10 + 16 + 24 = 58;{u_j} = 8,5;{u_{j + 1}} = 9$

Do ${x_{62}} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {8,5;9} \right)}\end{array}$ nên tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là:

${Q_3} = {u_j} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - C}}{{{n_j}}}.\left( {{u_{j + 1}} - {u_j}} \right) = 8,5 + \frac{{\frac{{3.82}}{4} - 58}}{{13}}.\left( {9 - 8,5} \right) \approx 8,63$