Bài 8 trang 42 Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Cho $cos\alpha = \frac{1}{3}$ và $- \frac{\pi }{2} < \alpha < 0$. Tính \(\begin{array}{l}a)\;sin\alpha \\b)\;sin2\alpha \\c)\;cos\left(...

Cho $cos\alpha = \frac{1}{3}$ và $- \frac{\pi }{2} < \alpha < 0$. Tính

$\begin{array}{l}a)\;sin\alpha \\b)\;sin2\alpha \\c)\;cos\left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right)\end{array}$

Áp dụng:

${\sin ^2}x + co{s^2}x = 1$

$\sin 2a = 2\sin a\cos a$

$\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin asinb$

a, Ta có: ${\sin ^2}x + co{s^2}x = 1$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha + {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \sin \alpha = \pm \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} = \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\end{array}$

Vì $- \frac{\pi }{2} < \alpha < 0$ nên $sin\alpha < 0 \Rightarrow \sin \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

$b)\;\,sin2\alpha = 2sin\alpha .cos\alpha = 2.\left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right).\frac{1}{3} = - \frac{{4\sqrt 2 }}{9}$

$c)\;cos(\alpha + \frac{\pi }{3}) = cos\alpha .cos\frac{\pi }{3} - sin\alpha .sin\frac{\pi }{3}$$= \frac{1}{3}.\frac{1}{2} - \left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right).\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{2\sqrt 6 + 1}}{6}$.