Giải mục 4 trang 17, 18, 19 GK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Khi điểm B cách mặt đất 4m thì điểm C cách mặt đất bao nhiêu mét?...

Hoạt động 3

Cho $\alpha = \frac{\pi }{3}$. Biểu diễn các góc lượng giác $- \alpha ,\alpha + \pi ,\pi - \alpha ,\frac{\pi }{2} - \alpha$ trên đường tròn lượng giác và rút ra mỗi liên hệ giữ giá trị lượng giác của các góc này với giá trị lượng giác của góc $\alpha$

Vẽ đường tròn lượng giác dựa vào kiến thức đã học rồi nhận xét

Dựa vào đường tròn lượng giác ta nhận được:

$\left. \begin{array}{l}\sin \left( { - \alpha } \right) = - \sin \alpha \\\cos \left( { - \alpha } \right) = \cos \alpha \end{array} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}tan\left( { - \alpha } \right) = - \tan \alpha \\\cot \left( { - \alpha } \right) = - \cot \alpha \end{array} \right.$

$\left. \begin{array}{l}\sin \left( {\pi + \alpha } \right) = - \sin \alpha \\\cos \left( {\pi + \alpha } \right) = - \cos \alpha \end{array} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\tan \left( {\pi + \alpha } \right) = \tan \alpha \\\cot \left( {\pi + \alpha } \right) = \cot \alpha \end{array} \right.$

$\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}\sin \left( {\pi - \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2},\,\,\,\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\\cos \left( {\pi - \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{1}{2},\,\,\,\cos \frac{\pi }{3} = \frac{1}{2}\end{array} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \left( {\pi - \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \frac{\pi }{3}\\\cos \left( {\pi - \frac{\pi }{3}} \right) = - \cos \frac{\pi }{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \left( {\pi - \alpha } \right) = \sin \alpha \\\cos \left( {\pi - \alpha } \right) = - \cos \alpha \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\tan \left( {\pi - \alpha } \right) = - \tan \alpha \\\cot \left( {\pi - \alpha } \right) = - \cot \alpha \end{array} \right.\end{array}$

$\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2},\,\,\,\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2},\,\,\,\cos \frac{\pi }{3} = \frac{1}{2}\end{array} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \frac{\pi }{3}\\\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \frac{\pi }{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cos \alpha \\\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \sin \alpha \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\tan \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cot \alpha \\\cot \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \tan \alpha \end{array} \right.\end{array}$

Thực hành

a) Biểu diễn $\cos 638^\circ$ qua gí trị lượng giác của góc có số đo từ $0^\circ$ đến $45^\circ$

b) Biểu diễn $\cot \frac{{19\pi }}{5}$ qua giá trị lượng giác của góc có số đo từ 0 đến $\frac{\pi }{4}$

Dựa vào ví dụ 4 để làm bài

a) $\cos 638^\circ = \cos \left( {4.180^\circ + 90^\circ - 8^\circ } \right) = - \cos \left( {90^\circ - 8^\circ } \right) = - \sin 8^\circ$

b) $\cot \left( {\frac{{19\pi }}{5}} \right) = \cot \left( {4\pi - \frac{\pi }{5}} \right) = - \cot \left( {\frac{\pi }{5}} \right)$

Vận dụng

Trong Hình 11, vị trí cabin mà Bình và Cường ngồi trên vòng quay được đánh dấu với điểm B và C.

a) Chứng minh rằng chiều cao từ điểm B đến mặt đất bằng $\left( {13 + 10\sin \alpha } \right)$ mét với α là số đo của một góc lượng giác tia đầu OA, tia cuối OB. Tính độ cao của điểm B so với mặt đất khi $\alpha = - 30^\circ$

b) Khi điểm B cách mặt đất 4m thì điểm C cách mặt đất bao nhiêu mét? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Dựa vào kiến thức lượng giác đã học để tính

a) Chiều ca từ điểm B đến mặt đất là độ dài đoạn KH

Ta có: $KH = OH - OK = 13 - OB.\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = 13 - 10.\sin \left( { - \alpha } \right) = 13 + 10.\sin \alpha$

Với $\alpha = - 30^\circ \Rightarrow KH = 13 + 10.\sin \left( { - 30^\circ } \right) = 8\,\,\left( m \right)$

b) Nếu B cách mặt đất 4m $\Rightarrow 4 = 13 + 10\sin \alpha \Leftrightarrow \sin \alpha = - \frac{9}{{10}}$

Ta có: ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Leftrightarrow {\left( { - \frac{9}{{10}}} \right)^2} + {\cos ^2}\alpha = 1 \Leftrightarrow \cos \alpha = - \frac{{\sqrt {19} }}{{10}}$

Gọi M là hình chiếu của C lên OH

$\Rightarrow \cos \left( {\widehat {COH}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cos \alpha = - \frac{{\sqrt {19} }}{{10}}$

Mà $\cos \widehat {COH} = \frac{{OM}}{{OC}} \Rightarrow - \frac{{\sqrt {19} }}{{10}} = \frac{{OM}}{{OC}} \Rightarrow OM \approx 4,36\,\,\left( m \right)$

$\Rightarrow MH = OH - OM = h - OM = 13 - 4,36 = 8,64 m$

Vậy điểm C cách mặt đất 8,64 m.