Bài 7.18 trang 50 Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá: Một vật dao động điều hòa có phương trình $x = 4\cos \pi t$ ($x$ tính bằng $cm$...

Một vật dao động điều hòa có phương trình $x = 4\cos \pi t$ ($x$ tính bằng $cm$, $t$ tính bằng giây).

a) Tính vận tốc của vật tại thời điểm $t = 0,75$ giây

b) Tìm thời điểm đầu tiên vật có gia tốc lớn nhất.

a) Vận tốc chính là đạo hàm của $x$

Áp dụng công thức $\left( {\cos u} \right)’ = - u’.\sin u;\,\,\,\left( {\sin u} \right)’ = u’.\cos u$

b) Gia tốc là đạo hàm cấp hai của $x$

Áp dụng công thức $- 1 \le \sin u \le 1;\,\, - 1 \le \cos u \le 1$

a) Vận tốc của vật là $v = x’ = \left( {4\cos \pi t} \right)’ = - 4\sin \pi t.\left( {\pi t} \right)’ = - 4\pi \sin \pi t$

Vận tốc của vật tại thời điểm $t = 0,75$ giây là $v\left( {0,75} \right) = - 4\pi .\sin 0,75\pi = - 2\sqrt 2 \pi$

b) Gia tốc của vật là $a = x” = \left( { - 4\pi \sin \pi t} \right)’ = - 4\pi \cos \pi t.\left( {\pi t} \right)’ = - 4{\pi ^2}\cos \pi t$

Ta có $- 1 \le \cos \pi t \le 1 \Leftrightarrow 4{\pi ^2} \ge - 4{\pi ^2}\cos \pi t \ge - 4{\pi ^2} \Leftrightarrow 4{\pi ^2} \ge a \ge - 4{\pi ^2}$

Vậy gia tốc lớn nhất bằng $a = 4{\pi ^2}$ khi $\cos \pi t = - 1$

Vậy tại thời điểm đầu tiên là $t = 1$ thì vật có gia tốc lớn nhất