Bài 8.1 trang 54 Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá: Cho tứ diện đều $ABCD$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Tính $\cos \left( {AB, DM} \right)$...

Cho tứ diện đều $ABCD$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Tính $\cos \left( {AB,DM} \right)$

+ Gọi $N$ là trung điểm của $AC$. Khi đó $MN//AB$

+ Góc giữa $\left( {AB,MD} \right) = \left( {MN,MD} \right)$

+ Tính các cạnh $MN,ND,MD$

+ Tính $\cos M = \frac{{M{N^2} + M{D^2} - N{D^2}}}{{2MN.MD}}$

Giả sử tứ diện đều có cạnh bằng $a$

Gọi $N$ là trung điểm của $AC$. Suy ra $MN$ là đường trung bình của tam giác

$\Rightarrow MN//AB;MN = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$

Vì $MN//AB$$\Rightarrow \left( {AB,MD} \right) = \left( {MN,MD} \right) = \widehat {NMD}$ (vì góc $\widehat {NMD}$ là góc nhọn)

Vì tam giác $BCD$ đều nên $MD \bot BC$$\Rightarrow MD = \sqrt {B{D^2} - B{M^2}}$$= \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Tương tự, $ND = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Xét $\Delta MND$ có $\cos M = \frac{{M{N^2} + M{D^2} - N{D^2}}}{{2MN.MD}}$$= \frac{{{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}{{2.\frac{a}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}$

$\Rightarrow \widehat M \approx {73^o}$. Vậy $\left( {AB,MD} \right) \approx {73^o}$