Trang chủ Lớp 11 SGK Toán 11 - Cùng khám phá Bài 8.1 trang 54 Toán 11 tập 2 – Cùng khám phá:...

Bài 8.1 trang 54 Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá: Cho tứ diện đều \(ABCD\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Tính \(\cos \left( {AB, DM} \right)\)...

Gọi \(N\) là trung điểm của \(AC\). Giải - Bài 8.1 trang 54 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá - Bài 1. Hai đường thẳng vuông góc. Cho tứ diện đều \(ABCD\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Tính \(\cos \left( {AB...

Question - Câu hỏi/Đề bài

Cho tứ diện đều \(ABCD\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Tính \(\cos \left( {AB,DM} \right)\)

Method - Phương pháp giải/Hướng dẫn/Gợi ý

+ Gọi \(N\) là trung điểm của \(AC\). Khi đó \(MN//AB\)

+ Góc giữa \(\left( {AB,MD} \right) = \left( {MN,MD} \right)\)

+ Tính các cạnh \(MN,ND,MD\)

+ Tính \(\cos M = \frac{{M{N^2} + M{D^2} - N{D^2}}}{{2MN.MD}}\)

Answer - Lời giải/Đáp án

Advertisements (Quảng cáo)

Giả sử tứ diện đều có cạnh bằng \(a\)

Gọi \(N\) là trung điểm của \(AC\). Suy ra \(MN\) là đường trung bình của tam giác

\( \Rightarrow MN//AB;MN = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}\)

Vì \(MN//AB\)\( \Rightarrow \left( {AB,MD} \right) = \left( {MN,MD} \right) = \widehat {NMD}\) (vì góc \(\widehat {NMD}\) là góc nhọn)

Vì tam giác \(BCD\) đều nên \(MD \bot BC\)\( \Rightarrow MD = \sqrt {B{D^2} - B{M^2}} \)\( = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Tương tự, \(ND = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Xét \(\Delta MND\) có \(\cos M = \frac{{M{N^2} + M{D^2} - N{D^2}}}{{2MN.MD}}\)\( = \frac{{{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}{{2.\frac{a}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\)

\( \Rightarrow \widehat M \approx {73^o}\). Vậy \(\left( {AB,MD} \right) \approx {73^o}\)

Advertisements (Quảng cáo)