Bài 8.12 trang 63 Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a...

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc mặt đáy và $SA = \sqrt 2 .a$.Tính số đo góc giữa SC và (SAB)

Chứng minh $BC \bot \left( {SAB} \right)$ từ đó suy ra $SB$ là hình chiếu của $SC$ trên $\left( {SAB} \right)$

Từ đó xác định góc cần tìm là góc $\widehat {BSC}$

Sử dụng Định lý Pi – ta – go để tính cạnh $SB$ trong $\Delta SAB$ vuông tại $A$

Sử dụng $\tan \alpha$ để tính góc $\widehat {BSC}$ trong tam giác $SBC$ vuông tại $B$

Ta có $SA \bot BC$ vì $SA \bot \left( {ABCD} \right)$

Vì $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SA\\BC \bot AB\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)$

Suy ra $SB$ là hình chiếu vuông góc của $SC$ trên $\left( {SAB} \right)$

Vậy góc giữa $SC$ và $\left( {SAB} \right)$ là góc giữa $SC$ và $SB$

Vậy góc đó là góc $\widehat {BSC}$

Xét $\Delta SAB$ vuông tại $A$ có $SA = a\sqrt 2 ,AB = a \Rightarrow SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {2{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 3$

Xét $\Delta SBC$ vuông tại $B$ có $\tan \widehat {BSC} = \frac{{BC}}{{SB}} = \frac{a}{{a\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {BSC} = {30^o}$