Bài 8.4 trang 54 Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá: Cho tứ diện $ABCD$ có $AC = a, BD = 3a$. $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$...

Cho tứ diện $ABCD$ có $AC = a,BD = 3a$. $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$. Biết $AC$ vuông góc với $BD$, tính $MN$.

Gọi $P$ là trung điểm của $CD$.

Chứng minh $NP//BD,MP//AC$ suy ra $\left( {AC,BD} \right) = \left( {MP,NP} \right) = \widehat {MPN}$

Dựa vào $AC \bot BD \Rightarrow \widehat {MPN} = {90^o}$

Dựa vào $\Delta MNP$ vuông tại $P$ để tính $MN$

Gọi $P$ là trung điểm của $CD$

$\Rightarrow NP$ là đường trung bình của $\Delta BCD \Rightarrow NP//BD,NP = \frac{1}{2}BD = \frac{{3a}}{2}$

Vì $P$ là trung điểm của $CD$

$\Rightarrow MP$ là đường trung bình của $\Delta ACD \Rightarrow MP//AC,NP = \frac{1}{2}AC = \frac{a}{2}$

Vì $NP//BD,MP//AC$ suy ra $\left( {AC,BD} \right) = \left( {MP,NP} \right) = \widehat {MPN}$

Mà $AC \bot BD \Rightarrow \widehat {MPN} = {90^o}$$\Rightarrow \Delta MNP$ vuông tại $P$

$\Rightarrow M{N^2} = M{P^2} + N{P^2} = {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{3a}}{2}} \right)^2} = \frac{{10{a^2}}}{4}$$\Rightarrow MN = \frac{{a\sqrt {10} }}{2}$