Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng là đường liền trên khoảng đó. Gợi ý giải Hoạt động 3, Luyện tập 3 , Hoạt động 4, Luyện tập 4 , Vận dụng - mục 2 trang 83, 84 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá - Bài 3. Hàm số liên tục. Các hàm số f(x)=x3−3x+2 và g(x)=sinx xác định trên (−∞;+∞) có đồ thị như sau...
Hoạt động 3
Các hàm số f(x)=x3−3x+2 và g(x)=sinx xác định trên (−∞;+∞) có đồ thị như sau:

Dựa vào đồ thị, hãy dự đoán tính liên tục của các hàm số y=f(x) và y=g(x) trên (−∞;+∞).

Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng là đường liền trên khoảng đó

Quan sát đồ thị hàm số y=f(x),y=g(x) ta thấy chúng là một đường nét liền trên (−∞;+∞) nên hai hàm số đó liên tục trên (−∞;+∞)
Luyện tập 3
Xét tính liên tục của hàm số f(x)={x3+x−2x−1khix≠12khix=1 trên R

Hàm số liên tục trên R nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc R
Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm x=1

Tập xác định của hàm số là R
+ Trên tập (−∞;1)∪(1;+∞), hàm số f(x)=x3+x−2x−1 là phân thức hữu tỉ xác định trên các khoảng (−∞;1) và (1;+∞) nên liên tục trên các khoảng này.
+ Khi x=1, ta có f(1)=2.
limx→1f(x)=limx→1x3+x−2x−1=limx→1(x−1)(x2+x+2)x−1=limx→1(x2+x+2)=12+1+2=4≠f(1)
Vậy hàm số f(x) không liên tục tại x=1
Suy ra hàm số đã cho gián đoạn tại x=1 hay hàm số f(x) không liên tục trên R
Hoạt động 4
Cho hàm số f(x)=x2 và g(x)=1x.
a) Xét tính liên tục của y=f(x) và y=g(x) tại x0=1.
b) Xét tính liên tục của hàm số y=f(x)+g(x) tại x0=1.

Hàm số liên tại tại điểm x=x0 nếu limx→x0f(x)=f(x0)
Tính f(x0) và limx→x0f(x) rồi so sánh chúng
Tương tự với hàm y=g(x) và y=f(x)+g(x)

a)
+ Hàm số y=f(x)=x2 có TXĐ là R
Với x0=1⇒f(1)=12=1
limx→1f(x)=limx→1x2=12=1=f(1). Suy ra, hàm số y=f(x) liên tục tại x0=1
+ Hàm số y=g(x)=1x có tập xác định là R∖{0}
Với x0=1⇒g(1)=11=1
Advertisements (Quảng cáo)
limx→1g(x)=limx→11x=11=1=f(1). Suy ra, hàm số y=f(x) liên tục tại x0=1
b) Với x0=1⇒f(1)+g(1)=12+11=2
limx→1(f(x)+g(x))=limx→1(x2+1x)=12+11=2=f(1)+g(1).
Suy ra, hàm số y=f(x)+g(x) liên tục tại x0=1
Luyện tập 4
Tìm các khoảng trên đó hàm số sau đây là liên tục: y=x+tanx

Hàm số y=f(x) và y=g(x) là các hàm số liên tục trên khoảng K thì hàm số y=f(x)±g(x) cũng liên tục trên khoảng K
Hàm số y=tanx,y=cotx liên tục trên từng khoảng xác định của chúng
Tìm tập xác định của hàm số

Xét hàm số f(x)=x và g(x)=tanx
+ Hàm số f(x)=x là hàm đa thức nên f(x) liên tục trên R
+ Hàm số g(x)=tanx có tập xác định là R∖{π2+kπ,k∈Z} nên hàm số g(x) liên tục trên các khoảng (−π2+k2π;π2+k2π,k∈Z)
Do đó, hàm số y=f(x)+g(x)=x+tanx liên tục trên các khoảng (−π2+k2π;π2+k2π,k∈Z)
Vận dụng
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x + 1\,\,khi\,\,x \le 0\\ax + b\,\,khi\,\,0

Hàm số liên tục trên R nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc R
Dựa tính liên tục tại các điểm x=0;x=2 để tìm a và b

Tập xác định của hàm số là R
Với \(x
Với \(0
Với x>2, hàm số f(x)=4−x là hàm đa thức nên hàm số liên tục trên khoảng (2;+∞)
Để hàm số liên tục trên R thì hàm số y=f(x) phải liên tục tại các điểm x=0 và x=2
+ Với x=0⇒f(0)=0+1=1
limx→0−f(x)=limx→0−(x+1)=0+1=1
limx→0+f(x)=limx→0+(ax+b)=a.0+b=b
Để hàm số liên tục tại x=0 thì limx→0+f(x)=limx→0−f(x)=f(0)⇔b=1 (1)
+ Với x=2⇒f(2)=4−2=2
limx→2−f(x)=limx→2−(ax+b)=2a+b
limx→2+f(x)=limx→2+(4−x)=4−2=2
Để hàm số liên tục tại x=2 thì limx→2+f(x)=limx→2−f(x)=f(2)⇔2a+b=2 (2)
Từ (1) và (2), suy ra {b=12a+b=2⇔a=12;b=1