Trang chủ Lớp 11 SGK Toán 11 - Cùng khám phá Mục 2 trang 83, 84 Toán 11 tập 1 – Cùng khám...

Mục 2 trang 83, 84 Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá: Các hàm số f(x)=x33x+2g(x)=sinx xác...

Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng là đường liền trên khoảng đó. Gợi ý giải Hoạt động 3, Luyện tập 3 , Hoạt động 4, Luyện tập 4 , Vận dụng - mục 2 trang 83, 84 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá - Bài 3. Hàm số liên tục. Các hàm số f(x)=x33x+2g(x)=sinx xác định trên (;+) có đồ thị như sau...

Hoạt động 3

Các hàm số f(x)=x33x+2g(x)=sinx xác định trên (;+) có đồ thị như sau:

Dựa vào đồ thị, hãy dự đoán tính liên tục của các hàm số y=f(x)y=g(x) trên (;+).

Method - Phương pháp giải/Hướng dẫn/Gợi ý

Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng là đường liền trên khoảng đó

Answer - Lời giải/Đáp án

Quan sát đồ thị hàm số y=f(x),y=g(x) ta thấy chúng là một đường nét liền trên (;+) nên hai hàm số đó liên tục trên (;+)


Luyện tập 3

Xét tính liên tục của hàm số f(x)={x3+x2x1khix12khix=1 trên R

Method - Phương pháp giải/Hướng dẫn/Gợi ý

Hàm số liên tục trên R nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc R

Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm x=1

Answer - Lời giải/Đáp án

Tập xác định của hàm số là R

+ Trên tập (;1)(1;+), hàm số f(x)=x3+x2x1 là phân thức hữu tỉ xác định trên các khoảng (;1)(1;+) nên liên tục trên các khoảng này.

+ Khi x=1, ta có f(1)=2.

lim

Vậy hàm số f\left( x \right) không liên tục tại x = 1

Suy ra hàm số đã cho gián đoạn tại x = 1 hay hàm số f\left( x \right) không liên tục trên \mathbb{R}


Hoạt động 4

Cho hàm số f\left( x \right) = {x^2}g\left( x \right) = \frac{1}{x}.

a) Xét tính liên tục của y = f\left( x \right)y = g\left( x \right) tại {x_0} = 1.

b) Xét tính liên tục của hàm số y = f\left( x \right) + g\left( x \right) tại {x_0} = 1.

Method - Phương pháp giải/Hướng dẫn/Gợi ý

Hàm số liên tại tại điểm x = {x_0} nếu \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)

Tính f\left( {{x_0}} \right)\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) rồi so sánh chúng

Tương tự với hàm y = g\left( x \right)y = f\left( x \right) + g\left( x \right)

Answer - Lời giải/Đáp án

a)

+ Hàm số y = f\left( x \right) = {x^2} có TXĐ là \mathbb{R}

Với {x_0} = 1 \Rightarrow f\left( 1 \right) = {1^2} = 1

\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {x^2} = {1^2} = 1 = f\left( 1 \right). Suy ra, hàm số y = f\left( x \right) liên tục tại {x_0} = 1

+ Hàm số y = g\left( x \right) = \frac{1}{x} có tập xác định là \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}

Với {x_0} = 1 \Rightarrow g\left( 1 \right) = \frac{1}{1} = 1

Advertisements (Quảng cáo)

\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{x} = \frac{1}{1} = 1 = f\left( 1 \right). Suy ra, hàm số y = f\left( x \right) liên tục tại {x_0} = 1

b) Với {x_0} = 1 \Rightarrow f\left( 1 \right) + g\left( 1 \right) = {1^2} + \frac{1}{1} = 2

\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} + \frac{1}{x}} \right) = {1^2} + \frac{1}{1} = 2 = f\left( 1 \right) + g\left( 1 \right).

Suy ra, hàm số y = f\left( x \right) + g\left( x \right) liên tục tại {x_0} = 1


Luyện tập 4

Tìm các khoảng trên đó hàm số sau đây là liên tục: y = x + \tan x

Method - Phương pháp giải/Hướng dẫn/Gợi ý

Hàm số y = f\left( x \right)y = g\left( x \right) là các hàm số liên tục trên khoảng K thì hàm số y = f\left( x \right) \pm g\left( x \right) cũng liên tục trên khoảng K

Hàm số y = \tan x,y = \cot x liên tục trên từng khoảng xác định của chúng

Tìm tập xác định của hàm số

Answer - Lời giải/Đáp án

Xét hàm số f\left( x \right) = xg\left( x \right) = \tan x

+ Hàm số f\left( x \right) = x là hàm đa thức nên f\left( x \right) liên tục trên \mathbb{R}

+ Hàm số g\left( x \right) = \tan x có tập xác định là \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\} nên hàm số g\left( x \right) liên tục trên các khoảng \left( { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right)

Do đó, hàm số y = f\left( x \right) + g\left( x \right) = x + \tan x liên tục trên các khoảng \left( { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right)


Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x + 1\,\,khi\,\,x \le 0\\ax + b\,\,khi\,\,0

Method - Phương pháp giải/Hướng dẫn/Gợi ý

Hàm số liên tục trên \mathbb{R} nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc \mathbb{R}

Dựa tính liên tục tại các điểm x = 0;x = 2 để tìm ab

Answer - Lời giải/Đáp án

Tập xác định của hàm số là \mathbb{R}

Với \(x

Với \(0

Với x > 2, hàm số f\left( x \right) = 4 - x là hàm đa thức nên hàm số liên tục trên khoảng \left( {2; + \infty } \right)

Để hàm số liên tục trên \mathbb{R} thì hàm số y = f\left( x \right) phải liên tục tại các điểm x = 0x = 2

+ Với x = 0 \Rightarrow f\left( 0 \right) = 0 + 1 = 1

\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {x + 1} \right) = 0 + 1 = 1

\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {ax + b} \right) = a.0 + b = b

Để hàm số liên tục tại x = 0 thì \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow b = 1 \left( 1 \right)

+ Với x = 2 \Rightarrow f\left( 2 \right) = 4 - 2 = 2

\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {ax + b} \right) = 2a + b

\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {4 - x} \right) = 4 - 2 = 2

Để hàm số liên tục tại x = 2 thì \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2a + b = 2 \left( 2 \right)

Từ \left( 1 \right)\left( 2 \right), suy ra \left\{ \begin{array}{l}b = 1\\2a + b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow a = \frac{1}{2};b = 1

Advertisements (Quảng cáo)