Trang chủ Lớp 11 SGK Toán 11 - Cùng khám phá Mục 2 trang 83, 84 Toán 11 tập 1 – Cùng khám...

Mục 2 trang 83, 84 Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá: Các hàm số f(x)=x33x+2g(x)=sinx xác...

Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng là đường liền trên khoảng đó. Gợi ý giải Hoạt động 3, Luyện tập 3 , Hoạt động 4, Luyện tập 4 , Vận dụng - mục 2 trang 83, 84 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá - Bài 3. Hàm số liên tục. Các hàm số f(x)=x33x+2g(x)=sinx xác định trên (;+) có đồ thị như sau...

Hoạt động 3

Các hàm số f(x)=x33x+2g(x)=sinx xác định trên (;+) có đồ thị như sau:

Dựa vào đồ thị, hãy dự đoán tính liên tục của các hàm số y=f(x)y=g(x) trên (;+).

Method - Phương pháp giải/Hướng dẫn/Gợi ý

Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng là đường liền trên khoảng đó

Answer - Lời giải/Đáp án

Quan sát đồ thị hàm số y=f(x),y=g(x) ta thấy chúng là một đường nét liền trên (;+) nên hai hàm số đó liên tục trên (;+)


Luyện tập 3

Xét tính liên tục của hàm số f(x)={x3+x2x1khix12khix=1 trên R

Method - Phương pháp giải/Hướng dẫn/Gợi ý

Hàm số liên tục trên R nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc R

Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm x=1

Answer - Lời giải/Đáp án

Tập xác định của hàm số là R

+ Trên tập (;1)(1;+), hàm số f(x)=x3+x2x1 là phân thức hữu tỉ xác định trên các khoảng (;1)(1;+) nên liên tục trên các khoảng này.

+ Khi x=1, ta có f(1)=2.

limx1f(x)=limx1x3+x2x1=limx1(x1)(x2+x+2)x1=limx1(x2+x+2)=12+1+2=4f(1)

Vậy hàm số f(x) không liên tục tại x=1

Suy ra hàm số đã cho gián đoạn tại x=1 hay hàm số f(x) không liên tục trên R


Hoạt động 4

Cho hàm số f(x)=x2g(x)=1x.

a) Xét tính liên tục của y=f(x)y=g(x) tại x0=1.

b) Xét tính liên tục của hàm số y=f(x)+g(x) tại x0=1.

Method - Phương pháp giải/Hướng dẫn/Gợi ý

Hàm số liên tại tại điểm x=x0 nếu limxx0f(x)=f(x0)

Tính f(x0)limxx0f(x) rồi so sánh chúng

Tương tự với hàm y=g(x)y=f(x)+g(x)

Answer - Lời giải/Đáp án

a)

+ Hàm số y=f(x)=x2 có TXĐ là R

Với x0=1f(1)=12=1

limx1f(x)=limx1x2=12=1=f(1). Suy ra, hàm số y=f(x) liên tục tại x0=1

+ Hàm số y=g(x)=1x có tập xác định là R{0}

Với x0=1g(1)=11=1

Advertisements (Quảng cáo)

limx1g(x)=limx11x=11=1=f(1). Suy ra, hàm số y=f(x) liên tục tại x0=1

b) Với x0=1f(1)+g(1)=12+11=2

limx1(f(x)+g(x))=limx1(x2+1x)=12+11=2=f(1)+g(1).

Suy ra, hàm số y=f(x)+g(x) liên tục tại x0=1


Luyện tập 4

Tìm các khoảng trên đó hàm số sau đây là liên tục: y=x+tanx

Method - Phương pháp giải/Hướng dẫn/Gợi ý

Hàm số y=f(x)y=g(x) là các hàm số liên tục trên khoảng K thì hàm số y=f(x)±g(x) cũng liên tục trên khoảng K

Hàm số y=tanx,y=cotx liên tục trên từng khoảng xác định của chúng

Tìm tập xác định của hàm số

Answer - Lời giải/Đáp án

Xét hàm số f(x)=xg(x)=tanx

+ Hàm số f(x)=x là hàm đa thức nên f(x) liên tục trên R

+ Hàm số g(x)=tanx có tập xác định là R{π2+kπ,kZ} nên hàm số g(x) liên tục trên các khoảng (π2+k2π;π2+k2π,kZ)

Do đó, hàm số y=f(x)+g(x)=x+tanx liên tục trên các khoảng (π2+k2π;π2+k2π,kZ)


Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x + 1\,\,khi\,\,x \le 0\\ax + b\,\,khi\,\,0

Method - Phương pháp giải/Hướng dẫn/Gợi ý

Hàm số liên tục trên R nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc R

Dựa tính liên tục tại các điểm x=0;x=2 để tìm ab

Answer - Lời giải/Đáp án

Tập xác định của hàm số là R

Với \(x

Với \(0

Với x>2, hàm số f(x)=4x là hàm đa thức nên hàm số liên tục trên khoảng (2;+)

Để hàm số liên tục trên R thì hàm số y=f(x) phải liên tục tại các điểm x=0x=2

+ Với x=0f(0)=0+1=1

limx0f(x)=limx0(x+1)=0+1=1

limx0+f(x)=limx0+(ax+b)=a.0+b=b

Để hàm số liên tục tại x=0 thì limx0+f(x)=limx0f(x)=f(0)b=1 (1)

+ Với x=2f(2)=42=2

limx2f(x)=limx2(ax+b)=2a+b

limx2+f(x)=limx2+(4x)=42=2

Để hàm số liên tục tại x=2 thì limx2+f(x)=limx2f(x)=f(2)2a+b=2 (2)

Từ (1)(2), suy ra {b=12a+b=2a=12;b=1

Advertisements (Quảng cáo)