Bài 34 trang 109 Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và $\widehat {BAD} = {60^0}$...

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và $\widehat {BAD} = {60^0}$. Biết $SA \bot (ABCD)$ và $SA = a$.

a) Chứng minh rằng $BD \bot SC$.

b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.

Nếu đường vuông góc chung $\Delta$ cắt a, b tương ứng tại M, N thì độ dài đoạn thẳng MN được gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a, b.

a) Ta có $BD \bot AC,BD \bot SA \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right);SC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot SC$

b) Trong (SAC) kẻ $OE \bot SC$

Mà $BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow OE \bot BD$

$\Rightarrow d\left( {BD,SC} \right) = OE$

Gọi $AC \cap BD = \left\{ O \right\}$

Xét tam giác BAD có AB = AD, $\widehat {BAD} = {60^0}$ $\Rightarrow$ Tam giác BAD đều

$\Rightarrow AO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AC = a\sqrt 3$

Xét tam giác SAC vuông tại A có

$SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}} = 2a$

Dễ dàng chứng minh được

$\Rightarrow \frac{a}{{OE}} = \frac{{2a}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} \Rightarrow OE = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}$

Vậy $d\left( {BD,SC} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}$