Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết SA⊥(ABCD) và SA=a√2. Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng SC, cắt các cạnh SC, SB, SD lần lượt tại M, E, F.
a) Chứng minh rằng AE⊥(SBC).
b) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và hình chóp S.AEMF.
- Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.
- Tỉ số thể tích VS.A′B′C′VS.ABC=SA′SA.SB′SB.SC′SC
a) Ta có BD⊥AC,BD⊥SA⇒BD⊥(SAC);SC⊂(SAC)⇒BD⊥SC
Trong (ABCD) qua A kẻ đường thẳng song song với BD cắt BC, CD lần lượt tại K, H
⇒HK⊥SC⇒H,K∈(P)
Trong (SAC) qua A kẻ đường thẳng vuông góc với SC
Mà (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng SC cắt các cạnh SC tại M nên AM⊥SC
Do đó mặt phẳng (P) là (MHK) mà (P) cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại E, F nên:
trong (SBC) có SB cắt MK tại E, trong (SCD) có SD cắt MH tại F
Ta có BC⊥AB,BC⊥SA⇒BC⊥(SAB);AE⊂(SAB)⇒BC⊥AE
Advertisements (Quảng cáo)
Mà AE⊥SC(SC⊥(P))⇒AE⊥(SBC)
b) Ta có CD⊥AD,CD⊥SA⇒CD⊥(SAD);AF⊂(SAD)⇒CD⊥AF
Mà AF⊥SC(SC⊥(P))⇒AF⊥(SBC)
Xét tam giác SAB vuông tại A có
+) SB=√SA2+AB2=√(a√2)2+a2=a√3
+) SA2=SE.SB⇒SE=SA2SB=(a√2)2a√3=2a√33
Xét tam giác SBC vuông tại B có
SC=√SB2+BC2=√(a√3)2+a2=2a
Xét tam giác SAD vuông tại A có
+) SD=√SA2+AD2=√(a√2)2+a2=a√3
+) SA2=SF.SD⇒SF=SA2SD=(a√2)2a√3=2a√33
Xét tam giác SAC vuông tại A có SA2=SM.SC⇒SM=SA2SC=(a√2)22a=a
Ta có VS.AEMVS.ABC=SASA.SESB.SMSC=2a√33a√3.a2a=13⇒VS.AEM=13VS.ABC
VS.AFMVS.ADC=SASA.SFSD.SMSC=2a√33a√3.a2a=13⇒VS.AFM=13VS.ADC
Thể tích khối chóp S.ABCD là VS.ABCD=13SA.SABCD=13.a√2.a2=a3√23
Thể tích hình chóp S.AEMF là
VS.AEMF=VS.AEM+VS.AFM=13(VS.ABC+VS.ADC)=13.VS.ABCD=13.a3√23=a3√29